マクロ経済 ドーマー条件 離散 連続

政府の予算制約を
Dt-Dt-1=rDt-1+Gt-Tt
(Dt:t期末の国債残高　Dt-1:t-1期末の国債残高　r:利子率　Gt:t期の政府支出　Tt:t期の税収)
とする。
ここからドーマー条件を求めるときに、
Dt/Ytを微分して、
Δ(Dt/Yt)=ΔDt/Yt-(ΔYt/Yt)・(Dt/Yt)を得て、ΔDt=rDt+Gt-Ttを代入し、
結果として、Δ(Dt/Yt)=(Gt-Tt)/Yt+(r-g)・Dt/Ytを得る。(g:ΔYt/Yt)

以上のような記述が今よんでいる参考書に書いてありました。

しかし、最初の予算制約式からするとΔDtつまりt期の新規国債発行額はΔDt=rDt-1+Gt-Ttとなるのではないかと思うのです。
予算制約のtは2016年、2017年というような離散的な値で考えており、全微分する際にはDtやYtのtは連続的な時間で考えているから、ΔDtの表記が異なってしまうということがあるのでしょうか？

今まではtの添え字の無い、ΔD=rD+G-Tという予算制約式からスタートする教科書で学んでいたので、ここのところがよくわかりません。

詳しい方のご回答をよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/10/21 10:28

まだわかりませんか？もう一度コメントしましょう。

あなたの記号法に矛盾がある。とくに、差分記号Δの使い方が一貫していないので、それで正しいドーマー条件に導かれないのです。つまり、
ΔD(t)＝D(t)- D(t-1)
と書いておきながら、同時に
ΔY(t)/Y(t)=g
としているのです。しかし、前者の記号を使用するなら、
ΔY(t)=Y(t) - Y(t-1)
よって、
ΔY(t)/Y(t) =(Y(t)-Y(t-1))/Y(t) = 1 - Y(t-1)/Y(t) = 1 - 1/(1+g) = g/(1+g)となって、ｇとはなりません。

もう一点は、GDPに占める国債残高ですが、あなたはD(t)/Y(t)（ｔ期期末の国債残高のｔ期のＧＤＰに占める割合）がどうなるかを問題にしていますが、私の回答１ではｔ期期首の国債残高のｔ期のＧＤＰに占める割合がどうなるかを問題にしています。当然それらは違いがあります。ドーマー条件として
Δ(Dt/Yt)=(Gt-Tt)/Yt+(r-g)・Dt/Yt
を得るためには後者の概念を用いる必要があります。前者の概念を使うなら、回答２でコメントしたようにドーマー条件は

Δ(D(t)/Y(t)) = (1/(1+g))[(r-g)D(t-1)/Y(t) + (G(t) - T(t))/Y(t)]

で与えられます。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございました。
まだ、いまいち理解できていないので、ご回答を読み返します。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2018/10/23 09:14

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/10/19 08:56

No2の訂正

＞なぜなら、その場合、ΔY(t)=Y(t)-Y(t-1)となりますから、ΔY(t)/Y(t)=（Y(t)-Y(t-1))/Y(t)＝1－Y(t-1)/Y(t)=1 - 1/(Y(t)/Y(t-1) = 1- (1/g) = g/(1+g)となるからです。

は

なぜなら、その場合、ΔY(t)=Y(t)-Y(t-1)となりますから、ΔY(t)/Y(t)=（Y(t)-Y(t-1))/Y(t)＝1－Y(t-1)/Y(t)=1 - 1/(Y(t)/Y(t-1)） = 1- 1/(1+g) = g/(1+g)となるからです。

と直してください。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/10/19 07:45

違いがわかったでしょうか？

あなたのように、ΔD(t)=D(t+1)-D(t)ではなく、ΔD(t)=D(t)-D(t-1)と定義すると、当然ドーマー条件の表現に修正が必要になります。なぜなら、その場合、ΔY(t)=Y(t)-Y(t-1)となりますから、ΔY(t)/Y(t)=（Y(t)-Y(t-1))/Y(t)＝1－Y(t-1)/Y(t)=1 - 1/(Y(t)/Y(t-1) = 1- (1/g) = g/(1+g)となるからです。あなたの政府予算制約を使って、以上の点を修正すると、
ドーマー条件は
Δ(D(t)/Y(t)) = (1/(1+g))[(r-g)D(t-1)/Y(t) + (G(t) - T(t))/Y(t)]

となります。確かめてください。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/10/18 08:48

D(t)をt期期首（つまりt-1期期末）の国債残高とすれば、政府の予算制約は

ΔD(t)＝D(t+1)－D(t)＝rD(t)＋G(t) - T(t)
となり、これを全微分した式に代入し、ドーマー条件
Δ(D(t)/Y(t)) = (G(t)-T(t))/Y(t) + (r-g)D(t)/Y(t)

が得られる。ただし、このとき、平仄を合わせるため、成長率ｇはΔY(t)/Y(t) =（Y(t+1)-Y(t))/Y(t)と定義する必要がある。