高校の数学についてです。 写真の問題の(2)で、(1)と同じやり方でyの範囲も出してxの範囲とyの範

高校の数学についてです。

写真の問題の(2)で、(1)と同じやり方でyの範囲も出してxの範囲とyの範囲を足すというようなやり方でやったら答えが出ないのですが、どうしてこのやり方だと不適切なのか教えてください。
答えは-√(7/5)≦√(7/5)です。

No.1 ベストアンサー 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/01 10:10

2x^2－2xy＋3y^2＝1という式があるから、yはxの値に依存します。

なので、あなたの解答を見てないので何とも言えませんが、もしxの値の範囲とyの値の範囲を(１)で出したみたく別々に出して、それぞれの最大値や最小値を足し合わせてx＋yの範囲を出すのは誤りです。

yはxに依存した値なので、xが最大値を取るときにyが最大値を取るとは限りません。

簡単な例を挙げれば

－1≦sinx≦1
－1≦cosx≦1
ですが、sinx＋cosxの値域はそれぞれの範囲の最大値や最小値を足し合わせて
－2≦sinx＋cosx≦2とはなりませんよね？

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/11/02 14:46

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/01 11:01

ｙの2次方程式と見ると判別式は

D/4=x²-3(2x²-1)=-5x²+3≧0
∴-√(3/5)≦x≦√(3/5)
xの2次方程式と見ると判別式は
D/4=y²-2(3y²-1)=-5y²+2≧０
∴-√(2/5)≦y≦√(2/5)
ここでｘ、ｙそれぞれの最小値を与えられた条件式に代入してみる
⇒2・(3/5)-2√(3/5)√(2/5)+3(2/5)=6/5-2√6/5+6/5≠１
このように等式は成り立ちません。
これは、x(min)=-√(3/5)のときy=-√(2/5)ではない（xが最小の時、yが最小ではない）という事です。
反対にｙが最小の時、ｘが最小でないという事も表しています。
質問のやり方が通用するのは、ｘが最小の時ｙも最小、というように２変数が同時に最小となる場合だけなので、
本問のような場合は、この方法は通用しません。（最大についても同様です）

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/11/01 11:24

y+x=1で考えれば明白。

実数の範囲だから、xは-∞～∞の範囲を取り得る。
(x=100ならy=-99で良い、・・・・・）

同様に、yは-∞～∞の範囲を取り得る。
(y=100ならx=-99で良い、・・・・・）

両方足すと、x+yは-∞～∞の範囲を取り得る。って変でしょう？？？