平方完成は 因数分解では解けない形ものの 定数項を右辺へ移行し xの係数の半分とその２乗を両辺に加え

平方完成は 因数分解では解けない形ものの
定数項を右辺へ移行し xの係数の半分とその２乗を両辺に加えないといけないはずですが、8で両辺を割ったのは良いとして ①a(4)の2倍を2乗しているのは何故ですか？②あと別件で平方完成が使えるなら二次方程式の解の公式は使わなくても良いということでしょうか？お手数ですがよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2018/11/23 09:28

-5/4の半分は-5/8でその二乗は25/64ですよね？

他の回答どおり、解の公式というのは、
方程式ax^2+bx+c=0を平方完成して作られたものです。
ax^2+bx+c=0
両辺をaで割って、
x^2+b/ax+c/a=0
両辺に(b/2a)^2を加えて、c/aを移項して
x^2+b/ax+(b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a
左辺を因数分解して右辺を展開して
(x+b/2a)^2=b^2/(4a^2)-c/a
右辺を通分して
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(2a)^2
両辺の平方根をとって
x+b/2a=±√{(b^2-4ac)/(2a)^2}
右辺の分母をルートの外に出して、
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a
+b/2aを移項して、
x=-b/2a±√(b^2-4ac)/2a
右辺の分母を共通化して
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
です。
やっていることは単なる平方完成です。

この回答へのお礼

5/4の半分つまり1/2を掛けた
結果分母だけ2倍され、式より(-5/4)^2= 25/64となる訳ですね！
すっきりしました。集中力が切れてて盲点でした

お礼日時：2018/11/23 12:03

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/23 08:22

>①a(4)の2倍を2乗しているのは何故ですか？

a(4)って何?

>②あと別件で平方完成が使えるなら二次方程式の解の公式は
>使わなくても良いということでしょうか？

実質的に両者は同じものですよ。
解の公式は 解=A±√(B)、 A=ーb/(2a)、B=(b^2-4ac)/(4a^2)
は平方完成
(x-A)^2=B
と同じ。

No.1 回答者： metabolian 回答日時： 2018/11/23 06:31

② 「二次方程式の解の公式」は「平方完成」から導けます。

（教科書・参考書に書いてあるかも。）
ax^2+bx+c=0 （ただし、a≠0）
a(x^2+(b/a)x)+c=0 ※aでくくる

ここで、「(x+p)^2」の形を作りたいので、次のようにします。
※公式 (x+p)^2 = ｘ^２+2px+p^2 …（A）を利用。

下の式で、b/2aが(A)式の"p"に当たります。
p＾2の形を作りたいので、
「p^2を足して、引くから同じ！」みたいなことをやります。
a(x^2+2・(b/2a)x +(b/2a)^2 -(b/2a)^2)+c =0

-(b/2a)^2の項をかっこの外へ出してやります。
a(x^2+2・(b/2a)x +(b/2a)^2) -a・(b/2a)^2+c =0
a(x^2+2・(b/2a)x +(b/2a)^2) -((b^2)/4a) +c =0 ← ①の答えはこの辺りの話でしょうか？？

左辺は「(x+p)^2」の形ができる。定数項は右辺に持っていく。
a(x+(b/2a))^2 = ((b^2)/4a) -c

両辺をa（≠0）で割る
(x+(b/2a))^2 = (b^2)/(4a^2) -(c/a)
(x+(b/2a))^2 = (b^2-4ac)/(4a^2)

これで、「Ｘ^2 = t」の形になったので、両辺の平方根をとると
x+(b/2a) = ±√((b^2-4ac)/(4a^2))
x+(b/2a) = ±√(b^2-4ac)/2a ※右辺の分母=√(4a^2)=√((2a)^2)=2a
x=-(b/2a) ±√(b^2-4ac)/2a
=(-b ±√(b^2-4ac))/2a ← 「二次方程式の解の公式！」