条件付き確率で、Pa(B)とP(A∩B)の違いがよく分かりません…。 Pa(B)は事象Aが起こったと

条件付き確率で、Pa(B)とP(A∩B)の違いがよく分かりません…。
Pa(B)は事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率で、P(A∩B)は事象Aが起こりかつ事象Bが起こる確率ですよね。
ベン図を書いてみたのですが、どちらも同じことではないのですか？
よろしくお願いします。

No.6 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/12/08 12:49

質問者のベン図の表記を使います。

夫々の事象の数を｜A|、｜B|、｜A∩B｜、｜U|とする。
事象Aが起きる確率 P（A）＝｜A|/｜U|　　　　　　　　　　　　　（１）
事象Bが起きる確率 P（B）＝｜B|/｜U|　　　　　　　　　　　　　（２）
事象Aと事象Bが起こる確率 P（A∩B）＝｜A∩B｜/｜U|　　　　　　（３）
事象Aが起きた下で事象Bが起きる確率 Pa（B）＝｜A∩B｜/｜A|　　（４）

（４）式に（３）式を代入
Pa（B）＝　P(A∩B)｜U|/｜A|
これに（１）式を代入すると
Pa（B）＝P(A∩B)/P(A)

＜ベン図を書いてみたのですが、どちらも同じことではないのですか？＞
はいその通りです

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/07 18:01

質問の図の中の式は正しいですよ。

沢山試行したとき、結果の中からAが起きた結果のみを注目
その中のBの発生割合がPA(B)

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/12/07 12:07

P(A∩B)は事象Aが起こりかつ事象Bが起こる確率ですよね。

違います。
集合P(A∩B)は事象Aと事象Bが同じ時の事象の数を表した記号です。確率ではありません。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/07 11:18

＃２追加

ベン図は違っている
A⋏Bなどの横にPが付いているのがおかしくしている原因
Pではなく、na(B)とn(A∩B)とすれば良いと思います。（na(B)という表現は正式ではないかもしれませんが）
＃２の例でいえばn(U)=54x53通り
n(A)=13x51通り　←←←1回目にクラブ、2回目はなんでも良いから13x53
n(B)=13x3x13+13x12＝ 51x13 ←←←1回目にハート以外ｘ2回目ハート＋1回目にハートｘ2回目もハート
そして、共通部分は
「1回目にクラブ、2回目にハートを引く」
または
「1回目にクラブを引くという事が起こった場合、2回目にハートを引く」
を表しておりいずれも13x13通り
ただし確率にすると違いが出てきて
「1回目にクラブ、2回目にハートを引く確率」=13x13/52x51
1回目にクラブを引くという事が起こった場合、2回目にハートを引く確率=(13/51)　←←← 既に1回目にクラブは起きた（確定した）ことだからその確率はあえて書けば「１」、2回目の確率は残りのカード51マイからハートを引く確率で13/51
見て分かるとおり分母が異なります！

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/07 10:54

例

52枚のトランプのカードを1回に1枚ずつ、計2回引く場合
1回目にクラブ、2回目にハートを引く確率は(13/52)x(13/51)　これがP(A⋏B）にあたる
一方　1回目にクラブを引くという事が起こった場合、2回目にハートを引く確率は(13/51)　これがPa(B)にあたる。

No.1 回答者： ワヲン 回答日時： 2018/12/07 10:11

母体（分母）が異なります。

P(A∩B）は、母体は全体（U）です。

これに対して、Pa(B)の母体は、Aになります。
Aが発生した中で、Bとなる確率を求めることになります。