高校数学、確率です。 平面上に半径1と半径2の同心円s1.s2があり.s2の周上にに3n等分点a0.

高校数学、確率です。

平面上に半径1と半径2の同心円s1.s2があり.s2の周上にに3n等分点a0.a1.... a3n-1をとる. これらの3n等分点から異なる3点を選んで三角形を作りその三角形とs1の共有点の個数をxとする. x=2となるような3点の選びかたは何通りあるか.

と言う問題で、僕は写真のように回答したのですが、答えが合いません。回答解説を見ても僕と同じ方針ではなく自分の回答のどこが間違っているのかわかりません。間違いを指摘していただけると助かります。

(答えは1/2{3n(n-1)(n-2)}通りです)

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/08 21:15

共有点の個数のxと

違う意味の変数に同じxを使っているので
それをXとします

2π(z+1)/(3n)>4π/3
の時
共有点の個数x=0となってx≠2
2π(z+1)/(3n)=4π/3
の時
共有点の個数x=1となってx≠2
なので
2π(z+1)/(3n)<4π/3
という条件が抜けているのが間違いです

2π/3<2π(z+1)/(3n)<4π/3
だから
n-1<z<2n-1
だから
n≦z≦2n-2

0≦X≦n-2,0≦y≦n-2,n≦z≦2n-2

X+y+z=3n-3

X=0を仮定すると
3n-3=y+z
↓両辺からyを引くと
3n-3-y=z
↓z≦2n-2だから
3n-3-y≦2n-2
↓両辺にy+2-2nを加えると
n-1≦y
n-2<n-1≦y≦n-2となって矛盾するから
1≦X≦n-2

y=0を仮定すると
3n-3=X+z
↓両辺からXを引くと
3n-3-X=z
↓z≦2n-2だから
3n-3-X≦2n-2
↓両辺にX+2-2nを加えると
n-1≦X
n-2<n-1≦X≦n-2となって矛盾するから
1≦y≦n-2

3n-3=X+y+z
↓両辺からX+yを引くと
3n-3-X-y=z
↓z≦2n-2だから
3n-3-X-y≦2n-2
↓両辺にX+y+2-2nを加えると
n-1≦X+y
↓両辺からXを引くと
n-1-X≦y
↓y≦n-2だから
n-1-X≦y≦n-2
だから
yの値は(n-2)-(n-1-X)+1=X通りある
1≦X≦n-2だから
Σ_{X=1～n-2}X=(n-2)(n-1)/2
通りある
これが3n通りあるから
(1/2){3n(n-1)(n-2)}
通りある

この回答へのお礼

丁寧に回答していただき本当にありがとうございます！
モヤモヤが解決しました！

お礼日時：2018/12/08 22:12