外半a[m]の十分長い円柱導体と内半径b[m]の十分に長い円筒電極が同軸状に配置されている。円柱電極

外半a[m]の十分長い円柱導体と内半径b[m]の十分に長い円筒電極が同軸状に配置されている。円柱電極には V0[V]の電圧が印加され、円筒電極は接地されている。この電極間には比誘電率εrの誘電体が詰まっている場合、誘電体の中の電界分布を求めなさい。あわせて円柱導体に接する部分と円筒導体に接する部分の誘電体表面に現れる表面分極電荷密度σp[C・m^-2]を求めなさい。

この問題の答えを教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/13 16:27

誘電体の中の電界分布

円筒の中に半径ｒの同芯円筒を考えると、その長さ１ｍの部分の面積は
S＝２πｒ×１ｍ＿＿①である。
円筒のにたまる電荷密度をσ[C/ｍ²]とすると、電束Ｄが発生し、電束密度Ｄ＝σ/Ｓは
D=σ/S=σ/2πr＿＿②
となる。これをεrで割ると電界になる。
電界E=D/εr=σ/(2πεr ･r)＿＿③
電界を積分すると電圧になるので(rの大きい方から小さい方へ向かって積分する)
V=∫(b→r)Ed(－r)=－∫σ/(2πεr ･r)dr=－σ/(2πεr)･log r+c　　cは積分定数
r=bのとき、V=0になるので、
c=σ/(2πεr)･log b＿＿④
r=aのとき、V=V0になるので、
V0=－σ/(2πεr)･log a+c=－σ/(2πεr)･log b+σ/(2πεr)･log b
=σ/(2πεr)･log (b/a)＿＿⑤
これからσを求めると
σ= V0(2πεr)log (b/a) ＿＿⑥
電界分布は③に⑥を入れて
E=σ/(2πεr ･r)= V0log (b/a) /r＿＿⑦
表面分極電荷密度σp[C・m^-2]は
σp= D－ε0E=(εr－ε0)Eに、⑦を入れると
σp= (εr－ε0) E= (εr－ε0) V0log (b/a) /r＿＿⑧
円柱導体に接する部分では、r=aとして、
σp=(εr－ε0)E=(εr－ε0) V0log (b/a) /a＿＿⑨
円筒導体に接する部分ではマイナスになり、r=bとして
σp=－(εr－ε0)E=－(εr－ε0)V0log(b/a) /b＿＿⑩

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/11 22:59

ガウスの法則からE=k/rの形になるのはー目瞭然。

∫[b→a]k/rdr=V0を解いてkを求めれば電界が求まる。
r =a、bの電界×εrが、其々の表面電荷密度。
それの-(1-1/εr)倍が其々の分極電荷密度。