高一数学です (１)は解けましたが、それ以降は参考書で調べても 分かりませんでした 教えてください。

高一数学です
(１)は解けましたが、それ以降は参考書で調べても
分かりませんでした

教えてください。お願いします。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/23 19:29

#1です.

(3)に間違いがあったので訂正します

2つの不等式
2x+a^2≧ax+4…①
x^2-(a+4)x+4a≦0…②
がある.ただし,aは定数とする.
(1)
a=1とする
①から
2x+1≧x+4
x≧3

x^2-(1+4)x+4≦0
x^2-5x+4≦0
(x-1)(x-4)≦0
∴
1≦x≦4

(2)
②の左辺を因数分解すると
(x-4)(x-a)≦0…(2.1)
x<aを仮定すると
x<a<4だから
x-a<0
x-4<0
0<(x-4)(x-a)≦0となって矛盾するから
x≧a…(2.2)
↓両辺からaを引くと
x-a≧0
↓これと(2.1)から
x-4≦0
↓両辺に4を加えると
x≦4
↓これと(2.2)から
a≦x≦4…(2.3)

①の両辺からax+4を引くと
2x-ax+a^2-4≧0
(2-a)x+(a-2)(a+2)≧0
(2-a)x-(2-a)(a+2)≧0
(2-a)(x-a-2)≧0…(2.4)
↓a<2だから2-a>0だから両辺を2-aで割ると
x-a-2≧0
↓両辺にa+2を加えると
x≧a+2
↓これと(2.3)から
∴
a+2≦x≦4…(2)

(3)
a<4…(3.1)
とする
a≧2の時(2.4)から
(2-a)(x-a-2)≧0
↓2-a≦0だから
x-a-2≦0
↓両辺にa+2を加えると
x≦a+2
↓これと(2.3)から
a≦x≦4
この不等式を満たすただ1つの整数をxとすると
4<x+1
2<x-1≦3
だから
3<a
↓これと(3.1)から
3<a<4…(3.2)

a<2…(3.3)
の時(2)から
a+2≦x≦4
この不等式を満たすただ1つの整数はx=4>3だから
a+2>3
↓両辺から2を引くと
a>1
↓これと(3.3)から
1<a<2
↓これと(3.2)から
∴
1<a<2.又は.3<a<4

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/23 15:35

ANo.2です。

すみません。(3)に間違いがありましたので、(3)の回答は無視して下さい。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/23 15:27

①の式を変形

2x+a^2≧ax+4
(2-a)x≧4-a^2
(2-a)x≧(2-a)(2+a) …①'

②の左辺を因数分解すると
(x-a)(x-4)≦0 …②'

(2)は、
a＜2であることから、
①'はx≧2+a⇔a+2≦x
②'はa≦x≦4
ゆえに、①と②を同時に満たすxの範囲は、
a+2≦x≦4 (a＜2)

(3)は、
a＜4であることから、場合分けが必要になる。

(3-a) 2＜a＜4のとき：
2-a＜0より、
①'はx≦a+2
②'はa≦x≦4
①'と②'を同時に満たすxの範囲はa≦x≦4 (2＜a＜4)
xはただ一つの整数解を持つので、上記の範囲で条件を満たすのはx=3(a=3)のときのみ。
よって、xがただ一つの整数解をもつaの範囲は2＜a≦3

(3-b) a=2のとき：
①'はすべての実数において成立する。
②'は2≦x≦4
①'と②'を同時に満たすxの範囲は2≦x≦4 (a=2)
xはただ一つの整数解を持つが、上記の範囲で条件を満たすのはx=2,3,4で矛盾するため不適。

(3-c) a＜2のとき：
①'と②'を同時に満たすxの範囲はa+2≦x≦4 (a＜2)
xはただ一つの整数解を持つので、上記の範囲で条件を満たすのはx=3(a=1)のときのみ。
よって、xがただ一つの整数解をもつaの範囲は1≦a＜2

ゆえに、xはただ一つの整数解を持つaの範囲は、
1≦a＜2 または 2＜a≦3

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/23 15:16

(1)②は

x≦1,4
ではありません.間違っています
1≦x≦4
です

2つの不等式
2x+a^2≧ax+4…①
x^2-(a+4)x+4a≦0…②
がある.ただし,aは定数とする.
(1)
a=1とする
①から
2x+1≧x+4
x≧3

x^2-(1+4)x+4≦0
x^2-5x+4≦0
(x-1)(x-4)≦0
∴
1≦x≦4

(2)
②の左辺を因数分解すると
(x-4)(x-a)≦0…(2.1)
x<aを仮定すると
x<a<4だから
x-a<0
x-4<0
0<(x-4)(x-a)≦0となって矛盾するから
x≧a…(2.2)
↓両辺からaを引くと
x-a≧0
↓これと(2.1)から
x-4≦0
↓両辺に4を加えると
x≦4
↓これと(2.2)から
a≦x≦4…(2.3)

①の両辺からax+4を引くと
2x-ax+a^2-4≧0
(2-a)x+(a-2)(a+2)≧0
(2-a)x-(2-a)(a+2)≧0
(2-a)(x-a-2)≧0…(2.4)
↓a<2だから2-a>0だから両辺を2-aで割ると
x-a-2≧0
↓両辺にa+2を加えると
x≧a+2
↓これと(2.3)から
∴
a+2≦x≦4…(2)

(3)
a<4とする
a≧2を仮定すると(2.4)から
(2-a)(x-a-2)≧0
↓2-a≦0だから
x-a-2≦0
↓両辺にa+2を加えると
x≦a+2
↓これと(2.3)から
a≦x≦a+2…(3.1)
この不等式を満たすただ1つの整数をxと仮定すると
x-1<aとすると
x+1<a+2
a<x+1<a+2
だから
x+1も(3.1)を満たす整数だから
(3.1)を満たす整数xは2つ以上存在するから
a<2…(3.2)
だから(2)から
a+2≦x≦4
この不等式を満たすただ1つの整数はx=4>3だから
a+2>3
↓両辺から2を引くと
a>1
↓これと(3.2)から
∴
1<a<2