次の平面、曲面で囲まれた部分の体積を求めよ、という問題です x^2+y^2＝1 z=0 z=x V=

次の平面、曲面で囲まれた部分の体積を求めよ、という問題です
x^2+y^2＝1
z=0
z=x
V=∬[x^2+y^2≦1,0≦x] x dxdy
で極座標をつかって計算をしたら回答があいませんでした
解法を教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/10 15:33

問題を愚直に式にすれば

　　V = ∫∫∫[x^2+y^2≦1,0≦z≦x] dx dy dz
と書けましょう。すると、いろんな攻め方が見えてきます。たとえば
　　V = ∫[0≦z≦1] F(z) dz
　　F(z) = ∫∫[x^2+y^2≦1,z≦x] dx dy
という風に表すこともできる。F(z)は円を直線で切った、蒲鉾の切れ端みたいな形の面積ですから、扇型の面積と三角形の面積の差で計算できます。また、
　　V = 2∫[0≦y≦1] G(y) dy
　　G(y) = ∫∫[x^2+y^2≦1,0≦z≦x] dx dz
と表せば、G(y)は直角三角形の面積ですし、
　　V = ∫[0≦x≦1] dx
　　H(x) = ∫∫[x^2+y^2≦1,0≦z≦x] dy dz
とやれば、H(x)は長方形の面積です。

　円柱座標を使って x =r cosθ, y= r sinθ とすれば、
　　V = 2∫∫∫[0≦r≦1,0≦θ≦π/2, 0≦z≦r cosθ] r dr dθ dz
です。変数変換のヤコビアンに由来する因子rが入るのを忘れちゃいけません。
　これをたとえば
　　V = 2∫[0≦θ≦π/2]P(θ) dθ
　　P(θ) = ∫∫[0≦r≦1,0≦z≦r cosθ] r dr dz
とやっても良いし、
　　V = 2∫[0≦r≦1] r Q(r) dr
　　Q(r) = ∫∫[0≦θ≦π/2, 0≦z≦r cosθ] dθ dz
もアリだが、ただ
　　V = 2∫[....] R(z) dz
の形はややこしくなるだけっぽいなー。

　…などなど、いろんな攻め方があるわけで。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
zの範囲を理解していなかったことがわかりました
立体の説明もわかりやすくてわかりやすかったです
ありがとうございます

お礼日時：2019/01/11 14:43

No.3 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/10 08:43

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/7476148.html

dxdy=rdrdθ

V=∫[0→1]{∫[－π/2→π/2](r^2cosθ)dθ}dr
=∫[0→1](2r^2)dr
=2/3

よって、よって、x≦0も同じように求められるので、2V=4/3が答え。

３重積分で求める際は

まず、x^2+y^2=1というのは、「底面が半径１の円柱」です。

x≧0の領域でまず求めます。

なので、実際の領域に関してはまずD={0≦x≦√(1－y^2),－1≦y≦1,0≦z≦x}の範囲で積分しなくてはいけません。

すると
V=∫∫∫(_D)dxdydz
=2/3

x≦0も同様に求められます。よって、2V=4/3

こんな感じかな。答えは4/3ですよね？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
URL先の質問は拝見させていていたのですが｢2｣が何故かかったのかわからなかったので質問させていただきました
どうして2Vになるのですか？

お礼日時：2019/01/11 14:41

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/10 01:26

3次元なので、2重積分ではなく3重積分になります。

まず、球を8等分すると仮定すると、領域z=0, z=xで区間が閉じられており、zx平面でみたときのz=0とz=xの角度はπ/4。
これは球の8等分のうち、4等分がなく、残りの4等分がさらに半分（全体で2/8=1/4)になっているのと等価になる。

3次元の極座標を(x=rsinθcosφ, y=rsinθcosφ, z=rsinθ)とし、求める体積の領域を、

E={(r, θ, φ) : 0≦r≦1, 0≦θ≦π/2, 0≦φ≦π/2}

とすると、体積素は(r^2)sinθ dr dθ dφ

よって、求める体積は、
V=(8*(1/4))∫∫∫E (r^2)sinθ dr dθ dφ
=2∫[0,1]r^2 dr * ∫[0,π/2]sinθ dθ * ∫[0,π/2] dφ
=2*((1/3)r^3)[0,1] * (-cosθ)[0,π/2] * φ[0,π/2]
=2*(1/3)*(-cos(π/2)+cos(0))*(π/2)
=(π/3)*(-0+1)
=π/3

V=π/3

合っているかな？

この回答へのお礼

答えは4/3でしたが考え方が参考になりました
回答ありがとうございます

お礼日時：2019/01/11 14:37

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2019/01/10 01:00

どのように計算したか、そして解答を教えてください。

ミスを指摘した方が早そうなので。

この回答へのお礼

立式に間違いがあったようです
回答ありがとうございます

お礼日時：2019/01/11 14:36