二次形式の期待値の証明を教えて欲しいです。統計学の問題です。 二次形式の期待値が次式で与えられること

二次形式の期待値の証明を教えて欲しいです。統計学の問題です。

二次形式の期待値が次式で与えられることを示す。
E(y’Ay)=tr(AΣ)+μ’Aμ
ただし、E(y)=μ,cov(y)=Σ

この問題がわかりません。教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/10 13:14

「公式を導く」的な話の場合、基本的には「そもそもの定義に戻る」しかない。

それしかないってことは方針は明らかだということ。迷うところはありませんで、ただ粛々と計算をやるだけ。

　確率変数yの確率密度をφ(y)とすると、yの関数f(y)の期待値とは（fが何であろうと関係なく）
　　E[f(y)] = ∫ f(y)φ(y) dy (ただし、積分はベクトルyの全定義域に渡る定積分。以下同様）
のことでした。なので、yの成分y[i]の期待値というのは
　　μ[i] = E[y[i]] = ∫ y[i]φ(y) dy
である。yの成分は必ずしも互いに独立ではないわけで、共分散（ご質問ではΣと書いてあるけれども、総和の記号とまぎらわしいんでcovariance Cと書くことにすると、) Cは
　　C[i,j] = E[(y[i] - μ[i])(y[j] - μ[j])]
　　= E[y[i]y[j]] - E[μ[j]y[i]] - E[μ[i]y[j]] + E[μ[i]μ[j]]
　　= E[y[i]y[j]] - μ[j]E[y[i]] - μ[i]E[y[j]] + μ[i]μ[j]
　　= E[y[i]y[j]] - μ[i]μ[j]
である。なのでCが対称であること
　　C[i,j] = C[j,i]
は自明ですね。

　で、xを
　　x = Ay
すなわち
　　x[i] = Σ{j} A[i,j]y[j] (ただし、Σ{j}はjに関する総和。以下同様）
とするとき、xとyの内積
　　x' y = y' x = Σ{i} y[i]x[i]
の期待値
　　E[y’x] = ∫ (Σ{i}y[i]x[i])φ(y) dy
がどうなるかという話です。
　　E[y’x] = Σ{i}∫ y[i]x[i]φ(y) dy
　　= Σ{i}∫ y[i](Σ{j}A[i,j]y[j])φ(y) dy
　　= Σ{i}Σ{j}A[i,j]∫ y[i]y[j])φ(y) dy
　　= Σ{i}Σ{j}A[i,j]E[y[i]y[j]]
　　= Σ{i}Σ{j}A[i,j](C[i,j] + μ[j]μ[i])
　　= Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] + Σ{i}Σ{j}A[i,j]μ[j]μ[i]
　　= Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] + Σ{i}μ[i](Σ{j}A[i,j]μ[j])
ここで第2項
　　Σ{i}μ[i](Σ{j}A[i,j]μ[j]) = μ’Aμ
はすぐわかるでしょう。また第1項が
　　Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] = tr(AC)
となるのは、
　　(AC)[i,k] = Σ{j}A[i,j]C[j,k]
だから、
　　tr(AC) = Σ{i}(AC)[i,i] = Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[j,i]
そして、C[i,j] = C[j,i] であることからわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2019/01/14 14:24