No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「公式を導く」的な話の場合、基本的には「そもそもの定義に戻る」しかない。
それしかないってことは方針は明らかだということ。迷うところはありませんで、ただ粛々と計算をやるだけ。確率変数yの確率密度をφ(y)とすると、yの関数f(y)の期待値とは(fが何であろうと関係なく)
E[f(y)] = ∫ f(y)φ(y) dy (ただし、積分はベクトルyの全定義域に渡る定積分。以下同様)
のことでした。なので、yの成分y[i]の期待値というのは
μ[i] = E[y[i]] = ∫ y[i]φ(y) dy
である。yの成分は必ずしも互いに独立ではないわけで、共分散(ご質問ではΣと書いてあるけれども、総和の記号とまぎらわしいんでcovariance Cと書くことにすると、) Cは
C[i,j] = E[(y[i] - μ[i])(y[j] - μ[j])]
= E[y[i]y[j]] - E[μ[j]y[i]] - E[μ[i]y[j]] + E[μ[i]μ[j]]
= E[y[i]y[j]] - μ[j]E[y[i]] - μ[i]E[y[j]] + μ[i]μ[j]
= E[y[i]y[j]] - μ[i]μ[j]
である。なのでCが対称であること
C[i,j] = C[j,i]
は自明ですね。
で、xを
x = Ay
すなわち
x[i] = Σ{j} A[i,j]y[j] (ただし、Σ{j}はjに関する総和。以下同様)
とするとき、xとyの内積
x' y = y' x = Σ{i} y[i]x[i]
の期待値
E[y’x] = ∫ (Σ{i}y[i]x[i])φ(y) dy
がどうなるかという話です。
E[y’x] = Σ{i}∫ y[i]x[i]φ(y) dy
= Σ{i}∫ y[i](Σ{j}A[i,j]y[j])φ(y) dy
= Σ{i}Σ{j}A[i,j]∫ y[i]y[j])φ(y) dy
= Σ{i}Σ{j}A[i,j]E[y[i]y[j]]
= Σ{i}Σ{j}A[i,j](C[i,j] + μ[j]μ[i])
= Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] + Σ{i}Σ{j}A[i,j]μ[j]μ[i]
= Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] + Σ{i}μ[i](Σ{j}A[i,j]μ[j])
ここで第2項
Σ{i}μ[i](Σ{j}A[i,j]μ[j]) = μ’Aμ
はすぐわかるでしょう。また第1項が
Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[i,j] = tr(AC)
となるのは、
(AC)[i,k] = Σ{j}A[i,j]C[j,k]
だから、
tr(AC) = Σ{i}(AC)[i,i] = Σ{i}Σ{j}A[i,j]C[j,i]
そして、C[i,j] = C[j,i] であることからわかります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
シグマの記号の読み方
-
近似曲線の数式を手計算で出し...
-
数列の応用の格子点の個数に関...
-
Π←これは一体?
-
Σの添え字について
-
三乗の公式
-
2022.8.5 05:49に頂いた解答に...
-
平面の計算方法
-
ベッセル関数の超幾何関数表示...
-
Σk(k+1) k=1 式を教えて下さい ...
-
a1=1,an+1=an+3n-1 この条...
-
Σの計算
-
この無限級数の和の問題を教え...
-
Z=e^(x+y)について2変数のマク...
-
今日は日曜日(๑^ ^๑)/ 雑用の合...
-
二重和(ΣΣ)の計算方法について
-
エクセルによる近似(回帰)直...
-
シグマの右上に-1って?
-
回帰直線の求め方
-
期待値と無限等比級数の融合問...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報