G を群とし, X を Gがgxにより作用している集合とする。x ∈ X の固定部分群 Gx を考え

G を群とし, X を Gがgxにより作用している集合とする。x ∈ X の固定部分群 Gx を考える。OG(x) をxの軌道として写像 φ_x : G/Gx → OG(x) を次で定める.
φ_x : G/Gx → OG(x),
gGx → gx


(1) 写像 φ_x が well-defined であることを証明せよ.
(2) φ_x は全単射であることを証明せよ.
(3) G が有限群なら |G| = |Gx| · |OG(x)| となることを証明せよ.

この問題の解答解説をお願いします。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/12 12:58

Gx={g∈G|gx=x}

OG(x)={gx|g∈G}
φ_x:G/Gx→OG(x),
gGx→gx

(1)
{g,h}⊂G
gGx=hGx
とすると
{h^(-1)}g∈Gx
だから
{h^(-1)}gx=x
↓両辺にhをかけると
gx=hx
∴
写像φ_xはwell-definedである

(2)
y∈OG(x)とすると
y=gxとなるg∈Gがある
φ_x(gGx)=gx=y
だから
φ_xは全射

φ_x(gGx)=φ_x(hGx)
とすると
gx=φ_x(gGx)=φ_x(hGx)=hx
だから
gx=hx
↓両辺にh^(-1)をかけると
{h^(-1)}gx=x
だから
{h^(-1)}g∈Gx
だから
gGx=hGx
だから
φ_xは単射
だから
φ_xは全単射

(3)
φ_x:G/Gx→OG(x),
が全単射だから有限集合の要素数が等しいから
|G/Gx|=|OG(x)|
↓有限集合で|G/Gx|=|G|/|Gx|だから
|G|/|Gx|=|OG(x)|
↓両辺に有限数|Gx|をかけると
∴
|G|=|Gx|・|OG(x)|