複素関数の留数定理について質問です。教えていただきたいです。

留数定理を用いて解くのですが、cos nθ＝Z^n+Z^-n/2とおいたあと躓いています。
どうか教えてください。
ありがとうございます！

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/21 18:41

やりかたそれでいいけど

留数定理使うよりは
部分分数にうまく分解して
コーシーの積分定理をつかうのがだいぶ楽です。
1/z^ｎ(z－α)を(1/z^ｎ)－1/z^ｎ-1(z－α)のような形にｎの値を下げていく。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/21 00:04

誤字訂正：

ただし [(n-1)/2] は (n-1)/2 を越えない最大の整数

No.3 回答者： Ae610 回答日時： 2019/01/19 23:54

ANo.1・・!

計算ミスってたので訂正・・!<(_ _)>

∫[0,2π]{cos(nθ)/(1+pcosθ)}dθ＝2π*(-1+√(1-p²))ⁿ/(pⁿ√(1-p²))

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/19 23:39

その置き方で、いいんじゃないでしょうか。

z = e^(iθ), 0≦θ≦2π と置くと、
S = ∫[0〜2π] {cos(nθ)}/{1+p(cosθ)} dθ
= ∫[単位円周] {(z^n + z^-n)/2}/{1+p(z + z^-1)/2} {dz/(iz)}
= (1/i)∫[単位円周] F(z) dz.
ただし、F(z) = {(z^n + z^-n)/2}/{1+p(z + z^-1)/2}・{1/z}
= (1/p){z^(2ｎ) + 1}/{(z^n) (z^2 + (2/p)z + 1)}.

留数定理を使ってこの閉路積分を行うのですが、
単位円内部にある F(z) の特異点は、z=0 と z=a.
ただし、a={-1+√(1-p^2)}/p, b={-1-√(1-p^2)}/p.

z=a における F(z) の留数は、
lim[z→a] (z-a)F(z) = lim[z→a] (z-a)(1/p){z^(2ｎ) + 1}/{(z^n)(z-a)(z-b)}
= (1/p){a^(2ｎ) + 1}/{(a^n)(a-b)}
= {(a^ｎ + a^-n)/2}/√(1-p^2).

F(z) = (1/p)(z^ｎ)/(z^2 + (2/p)z + 1) + (1/p)/{(z^n) (z^2 + (2/p)z + 1)}
また 1/(z^2 + (2/p)z + 1) = 1/(1 - { -z^2 -(2/p)z })
= Σ[k=0→∞] { -z^2 -(2/p)z }^k
= Σ[k=0→∞]Σ[j=0〜k] (kCj){(-z^2)^j}{-(2/p)z}^(k-j)
= Σ[k=0→∞]Σ[j=0〜k] (kCj){(-1)^k}{(2/p)^(k-j)} z^(j+k)　…[1]
と展開して、式[1]での z^(n-1) の係数 c を
c = Σ[j=0〜[(n-1)/2]] {(n-1-j)Cj}{(-1)^(n-1-j)}{(2/p)^(n-1-2j)}
= {(-2/p)^(n-1)} Σ[j=0〜[(n-1)/2]] {(n-1-j)Cj}(-p^2/4)^j
ただし [(n-1)/2] は (n-1)/2 を越えない最大の正数
と求めれば、z=0 における F(z) の留数は、(1/p)c.

以上より、S = (1/i)(2πi)( {(a^ｎ + a^-n)/2}/√(1-p^2) + c/p )
= (2π)( {(a^ｎ + a^-n)/2}/√(1-p^2) - (1/2){(-2/p)^n} Σ[j=0〜[(n-1)/2]] {(n-1-j)Cj}(-p^2/4)^j).

この回答へのお礼

ありがとうございます。^^

お礼日時：2019/01/21 21:47

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2019/01/19 16:02

∫[0,2π]{cos(nθ)/(1+pcosθ)}dθ　　　　　(0＜p＜1 , n=0,1,2,3,…)

=2π(αⁿ⁻¹ - αⁿ⁻²β + αⁿ⁻³β² -…+βⁿ⁻¹)/(pⁿ⁻¹√(1-p²))
(但しα=(-1+√(1-p²))/p , β=(-1-√(1-p²))/p)

計算ミスってるかも・・!? (ちと自信ない)