回転座標系の微分方程式の問題です。 近似せずにこの微分方程式を解きたいのですが、やり方を教えて下さい

回転座標系の微分方程式の問題です。
近似せずにこの微分方程式を解きたいのですが、やり方を教えて下さい、よろしくお願いします。
ナイルの放物線です。

(8.28)～(8.30)の3つの微分方程式からyをzの式で表したいです。

初期条件(t=0)
x=y=0
z=h

解答
x=0
y=(ω cosλ)/3 √(8(h-z)^3/g)

質問者からの補足コメント

• 初期条件追加です。
  dx/dt=dy/dt=dz/dt=0

    補足日時：2019/01/22 21:00

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/01/22 22:18

近似なしに解くことは難しいと思います。

ある書籍では 微分法停止の dx/dt=dy/dt を省略して解いています。
すると
d²x/dt²=0 , d²y/dt²=-2w(dz/dt)cosλ , d²z/dt²=-g
となります。

これは簡単に解け、解　x=0 , z=h-gt²/2 , y=(1/3)wgt³cosλ
がえられ、y,zの関係は
y=(wg/3)cos λ{2(h-z)/g}³/²

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
大学で出題されたのですが、近似無しで解けるようです…dy/dt等を無視して計算するとダメと言われてしまいまして…

お礼日時：2019/01/22 22:21

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/01/22 22:37

そうですか。

失礼しました。他の方に投げます。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/01/22 22:55

すると気になったのですが、厳密解がx=0ということなら、^を時間微分として

x^=x^^=0なので、(8.28)からy^=0、つまり、y^^=0。(8.29)から
z^=0 となるが、(8.30)から z^^=-g となって矛盾。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにそうですね…
初期条件は確かに上のように与えられたのですが…

お礼日時：2019/01/22 22:58

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/23 18:23

(8.28)、（8.30）を1回積分して初期条件をいれれば

ｘドット＝2ωｙsinλ、
ｚドット＝－ｇｔ＋2ωｙcosλ　がでるから
この2つを（8.29）にいれたら
ｙの2回線形微分方程式になるから
これをといたらいけそうだね。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/24 14:47

あのー、ちょっと調べたけどね。

その3つ式からｘ、ｙ、ｚをｔの関数として厳密に出すことはできます。
しかし、
その厳密式からはあなたのあげている解答の結果はでてこない。
じゃあどうするかというと
ωｔが1にくらべて非常に小さいことに着目して
(だいたい落下時間に対して1日の長さ位の割合）
その3つの厳密式から近似式を作る。
実はこの3つの近似式から解答の式がでてくるのですね。
結局方程式を立てる前に状況を近似するか
厳密式を出した後で近似するかのちがいがあるだけで解答の式を出すには
近似は必要です。