素数が無限に存在することの証明なのですが、この証明の最少の正の約数ってどういうことですか？ （本は代

素数が無限に存在することの証明なのですが、この証明の最少の正の約数ってどういうことですか？
（本は代数学1　群論入門　雪江明彦です）

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/27 18:08

そうやね、1をのぞいた最小の正の約数ってことやね。

このｑは確かに素数。
整数ｎ＝(ｐ1ｐ2･･･ｐN)＋1はどの素数ｐ1、ｐ2、...ｐNで割ってもあまりが1
しかしｑでは割り切れる。
だから素数ｑはｐ1、ｐ2、...ｐNのどれにも等しくないってこと。
つまりＮｏ４さんの通り。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そうですよね

お礼日時：2019/01/28 02:07

No.8 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/27 14:55

>最小の正の約数とは1を除いてるのでしょうか？

そう解釈しないとうまくゆきませんねえ(^^;

この本は持ってないけど、所謂真の約数=自明の約数を除いた約数
を約数の定義にしてるのかも。或いは単なる書き落とし。

この回答へのお礼

そのような定義はありませんでした。
書き落としですかね。

お礼日時：2019/01/27 15:12

No.7 回答者： 確変 回答日時： 2019/01/27 12:08

確かに, 第 1 版第 4 刷の証明も, イマイチだね.

以下のように書けば, どうだろうか.
----------------------------------------------------------------------------------------------
p_1, ..., p_N がすべての素数であるとする.
q = p_1・・・p_N + 1 とおくと, q は 1 より大きい自然数だから, ある素数を約数にもつ.
しかし, p_1, ...,p_N は, どれも q の約数ではない.
これら 2 つのことは矛盾する.
----------------------------------------------------------------------------------------------
#5 では q が合成数の可能性がある, と言っているが, それはあり得ない.
素数はもちろんだが, 合成数であっても, 必ずある素数を約数にもつはずだ.
q が素数であっても合成数であっても, どうにもならない, って主張なら理解できるが.

No.6 回答者： 確変 回答日時： 2019/01/27 10:50

q = p_1・・・p_N + 1

この数式は, 左辺はもちろんだが, 右辺の表記にも, まったく欠陥が無い.

N=( p1×p2×p3×・・・pN)+ 1　？？？
謎の数式だが, おそらく簡単な算数が理解できていないのだろう.

N(>1)の最小の正の約数qは、Nがなんであるかに関わらず必ず素数　？？？
1 を素数だと言うのか...

この回答へのお礼

この説明だと1になりますよね？

お礼日時：2019/01/27 14:23

No.5 回答者： kmee 回答日時： 2019/01/27 10:48

「最少」は「最小」の誤字でしょう。

ただ、この表現なら、たしかに q = 1 もありえます。

で、証明が不十分ですね。

Q=p1・p2・...・pn+1 とすると
Q は p1,.. pn のいずれでもないので、Qは素数ではない。
よって、Qは1でもQでもない約数を持つ。
そのうち最小の正の約数をqとする。

ってところが抜けています。




ついでに、#3の証明も
「qが新たな素数」と決め付けていますが、実際には素数とは限りません。
「p1〜pNの含まれない素数 px1,px2... に素因数分解できる合成数」の可能性があります。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/27 09:03

p1・・・PN+1って何でしょうね?

数式がまともに書けてない気がします。省略し過ぎ。
N=( p1×p2×p3×・・・pN)+ 1
だとすると、
N(>1)の最小の正の約数qは、Nがなんであるかに関わらず必ず素数。
しかしNはp1、p2・・・pNでわるとー余るので、qは
p1、p2、・・・pNの何れでもない。

つまり、p1、p2、・・・pN以外の新たな素数があるということなので
矛盾。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最小の正の約数とは1を除いてるのでしょうか？

お礼日時：2019/01/27 14:15

No.3 回答者： 確変 回答日時： 2019/01/27 06:26

その本, バージョンは？

私が使っているのは, 2013 年 11 月 10 日発行の, 第 1 版第 4 刷だけど.
36 ページの定理 2.4.8 をそのまま書き写すと,
---------------------------------------------------------------------------------
定理 2.4.8　素数は無限にある.

証明　p_1, ..., p_N がすべての素数であるとする. q = p_1・・・p_N + 1 とおくと, q
は p_1, ...,p_N で割り切れないので, 新たな素数となり矛盾である.　　□
---------------------------------------------------------------------------------
弘法にも筆の誤り, ってやつでしょう.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
それならわかります。　
第8刷です

お礼日時：2019/01/27 14:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/27 04:59

「約数のなかで正で最小のもの」のほうがよいかなあ...

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/27 04:58

「最小の正の約数」のミスプリです。

そのくらい、解ってあげましょうよ。
「正の約数で最小のもの」のほうが、日本語として据わりがよいかな？
わざわざ「正の約数」と言っているのは、例えば -2 は 6 の約数だからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

最小の正の約数ってすべて１になりませんか？

お礼日時：2019/01/27 05:15