線形代数の次元の問題です。 ぜひ解き方と答えの方も教えていただけると幸いです。 よろしくお願いします

線形代数の次元の問題です。
ぜひ解き方と答えの方も教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/04 22:58

その L は、説明なしで使える標準的な記号ではないことを、

以前の質問への回答に書いたはずです。
それを指摘した回答者は私ひとりではなかったようですが、
考慮していないようですね。

さて、L(a1,a2,a3,a4) が a1,a2,a3,a4 の張る部分線型空間
を指すのであれば、dim L(a1,a2,a3,a4)=4 は a1,a2,a3,a4 が
一次独立であることを示しています。 部分線型空間といっても
全体の線型空間が何なのかを書かなければ意味をなしませんが、
いずれにせよ、何か適当な４次線型空間 K^4 (Kが何かは知らん)
の中で L(a1,a2,a3) に含まれないような a4 をひとつ見つければ
よいのです。そのような a4 は、ひとつに決まるわけでもないので、
どんな手段ででも１個見つければ ok です。
私なら、L(a1,a2,a3) の基底を {a1,a2,a3} から
{a2,a1-2a2,(a3+a2)-(a1-2a2)} にでも変えて考えるかな。

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/02/04 22:53

もう少しスマートな方法があるかもしれませんが

a1, a2, a3, a4が独立であればいいので、とりあえずa1,a2,a3を簡約化しましょう
(縦ベクトルではなく横ベクトルで書きます)
3a3 + a1 = (-7, 7, 5, 0) = a5
a5 +5a2 = (-2, 17, 0,0) = a6 (a3の処理終了)
a1+a6 = (0,18,-1,3) = a7
2a2 + a6 = (0, 21, -2, 0) = a8 (a2の処理終了)
(2a7 -a8)/3 = (0,5, 0, 2) (a1の処理終了)

よって、a4は
(0,5,0,2) (0,21,-2,0)(-2,17,0,0)と独立
適当にa4=(0,1,0,0)とでもすれば、明らかに独立(簡単に対角化できるので)

(0,1,0,0)
(逆にdim=3のものを探すほうが面倒です)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/05 17:53