周の長さがaで一定の扇形うち、その面積が最大になる場合の半径および中心角を求めよ。 この問題がわかり

周の長さがaで一定の扇形うち、その面積が最大になる場合の半径および中心角を求めよ。
この問題がわかりません。お願いします。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/02/04 20:00

ん？　こういうことなんじゃないの？

（aが有限なんだから、r→∞というのはあり得ない）


扇形の半径をr、中心角をθとすると、円弧の長さはrθだから、
周の長さは、2r+rθ=a
よって、θ=(a-2r)/r

この条件の下で、扇形の面積Sは、
S=πr²×(θ/2π)
=(1/2)r²θ
=(1/2)r²×(a-2r)/r
=(1/2)r(a-2r)
=(1/2)(-2r²+ar)
=-r²+ar/2
=-(r²-ar/2)
=-{ (r-a/4)²-a²/16 }
=-(r-a/4)²+a²/16　※

r>0、θ=(a-2r)/r>0より、0<r<a/2だから、この範囲において、
※はr=a/4のとき、最大値a²/16をとる。
このとき、θ=(a-2r)/r=2（この単位はラジアン。度に直すと、約114.6°）

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/02/04 14:57

面積Sを求める式を整理してみましょう。

半径r、中心角をθ[rad]とすれば、
S=pi*r^2*θ/(2*pi)　=(1/2)*θ*r^2
θ=a/r
∴　S=(1/2)*a*r
結局は、aは有限ですから、r=∞でS=∞になります。
同じように計算してみてください。

この回答へのお礼

なるほど！理解できました！
わざわざありがとうございます。

お礼日時：2019/02/04 15:02