定積分の1/6公式のαとβの位置は決まっているのですか。xがaからβの定積分を求める1/6公式は ∫

定積分の1/6公式のαとβの位置は決まっているのですか。xがaからβの定積分を求める1/6公式は
∫［α→β］(x-α)(x-β)dx=1/6(β-α)^3ですが、
∫［α→β］(x-β)(x-α)dxとしたりしてはいけないのですか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/04 20:23

(x-α)(x-β) = (x-β)(x-α) が恒等式なので、不定積分でも

∫(x-α)(x-β)dx = ∫(x-β)(x-α)dx が成り立つし、これにより当然
∫［α→β］(x-α)(x-β)dx = ∫［α→β］(x-β)(x-α)dx も成り立ちます。
被積分関数が同じ関数だという話で、これは1/6公式とは関係ありません。

だから、∫［α→β］(x-α)(x-β)dx = (1/6)(β-α)^3 式中のα,βのうち
(x-α)(x-β) のα,βは入れ替えても式は変わらない、かまわないのですが、
∫［α→β］ のα,βを入れ替えたら左辺の正負が変わってしまうし、
(1/6)(β-α)^3 のα,βを入れ替えたら右辺の正負が変わってしまいます。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/04 17:03

α<βを満たしているのであれば、積分式は

∫[α→β] (x-α)(x-β)dx

または、

∫[α→β] (x-β)(x-α)dx

のどちらでも構いません。