xy平面上の点2直線 L1：mx－y＋2m＝0 L2：x+my－2=0 の交点をPとする。mが全ての

xy平面上の点2直線
L1：mx－y＋2m＝0
L2：x+my－2=0
の交点をPとする。mが全ての実数値をとって変わるとき、交点Pの軌跡を求めよ。

【私の解答】
m(x+2)＝y …①
my＝2－x …②
①×y − ②×(x+2)より、mを消去して
x^2 ＋y^2 ＝4
よってPの軌跡は、
円x^2 ＋y^2 ＝4 …(答え)

【質問】
実際の解答は、点(-2,0)を除く、とあります。
普通にmを消去していくと、覗かないといけない点が見えませんでした。そもそもなんでこの点がだめなのか、(連立したから必ずその解は交点になるはずだと思っていたけど違うらしい)、ということを誰か数学得意な方教えて下さい。
この解き方はまずいのでしょうか…除外点に気付けるタイミングがなさそうなので…
よろしくお願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• m(x＋2)=y…①より
  x+2=0のとき、m＝y/(x＋2)
  x＋2＝0でなければ、①を満たす実数mは存在しないですね、(分母が0になったらいけない)
  ここまでわかりました。
  だから①からx≠ -2、②からy≠ 0
  (アレ、(x,y)＝(2,0)は除外されないの？！)
  
  でも、m(x＋2)＝y でx=-2とすると、
  m×0＝y
  となり、y＝0の時は全ての実数mで成り立ちますよね…ということは、点(-2,0)では交点が存在するということになるような気がします。矛盾です…どこが変ですか？

    補足日時：2019/02/04 19:06

No.5 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/02/05 20:25

こういうのはかなり気付きにくいけど、①、②のように変形（mでまとめた形）した段階で、

　　全てのx,yに関して、①、②を満たすmは存在し得るのか？
　（あるx,yに関しては、①、②を満たすmは存在し得ないのではないか？）
をチェックした方がいいです。

この問題で言えば、

まず、①に関しては、x=-2のときy=0で（任意のmで）成立するが、その場合、②は（mがどうだろうが）0=4となって成立しない。だから、(x,y)=(-2,0)はNG。
次に、②に関しては、y=0のときx=2で（任意のmで）成立するが、その場合、①は4m=0となり、m=0のときなら成立するからOK

というチェックをするということです。

この回答へのお礼

①で成り立っても②では不適だから(-2,0)は取り除かないといけなくて、逆に②で成り立つ(2,0)は①でも成り立つからOK、ということですね、ありがとうございます！他の問題でも確認するようにします！

お礼日時：2019/02/10 23:05

No.4 回答者： ken_den 回答日時： 2019/02/05 11:21

数字での解析は不得手なので図で.....

y1とy2の起点P,Qは固定されています。
そこから延びる線の交点は常に90°なので、直径PQの円になります。
以上です。

この回答へのお礼

こんな図になるなんて想像できませんでした、自分で描いてみて確かに90度を保つから円になりますね、でも(-2,0)の除外点は図だとどうやって示せばいいんでしょう？？しばらく悩みましたが頭爆発しました笑、わかりやすい図ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/10 23:20

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/04 20:51

この例題に限らず、変数を消去して軌跡の式を出したときには、

消去された変数の値の存在条件を確認する必要があります。
この問題では、「その(x,y)に対応するmはあるのか？」です。
そこから、除外範囲が出てきます。

①は、補足にあるように (x,y)=(-2,0) で成立するのですが、
この (x,y) に対しては②が 0y=4x となって ①②両方を満たす
m は存在しません。

一方、②を m=(2-x)/y と解くとき問題となる y=0 のほうは、
②が (x,y)=(2,0) で満たされると同時に、この (x,y) に対する
①の解 m=0 が存在しますから、問題ないのです。

条件式を、(x,y,m) の連立(一次ではない)方程式と見て
解の存在を検討することが大切です。

この回答へのお礼

消去された変数の存在確認を忘れずしようと思います。存在しないかもしれないから確認する必要がありますね…今後気をつけます、ありがとうございます！！

お礼日時：2019/02/10 23:23

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/04 20:43

あなたが 補足に書いた 「x+2=0のとき、m＝y/(x＋2)」が、

あなたが言う通り、数学的に 成り立たないのです。
つまり、x+2=0 →　x=-2 は除外しなければなりません。

＞(アレ、(x,y)＝(2,0)は除外されないの？！)

そうです。除外されるのは、(x, y)=(-2, 0) ですから。

別の解き方をしてみます。
x+2≠0 として、① の両辺を (x+2) で割ります・・・m=y/(x+2) 、
y≠0 として、② の両辺を y で割ります・・・m=(2-x)/y 。
つまり、{y/(x+2)}={(2-x)/y} →　4-x²=y²　→　x²+y²=4 。
（初めから、(x, y)=(-2, 0) を除外しています。）

この回答へのお礼

本当ですね、m＝にした時に分母が0にならないことより初めから除外してますね、ありがとうございます！

お礼日時：2019/02/10 23:09

No.1 回答者： puzzle_neko 回答日時： 2019/02/04 18:29

mを消去して、のところで、m=の式に変形する場合、

○1ならx=-2、○2ならy=0を除外して計算する必要があります。