2直線mx-y=0,x+my-m-2=0の交点をＰとする。mがすべての実数値をとって変わるとき,点Ｐ

2直線mx-y=0,x+my-m-2=0の交点をＰとする。mがすべての実数値をとって変わるとき,点Ｐの軌跡を求めよ。
答えが
mx-y=0……①
x+my-m-2=0……②

(i)x≠0のとき
①からm=(y/x)

②に代入して
x+(y/x)y-(y/x)-2=0
x^2+y^2-y-2x=0
(x-1)^2+{y-(1/2)}^2=(5/4)……③

ただし、x≠0であるから
③上の2点(0,0),(0,1)は除かれる


(ii)x=0のとき
①、②はそれぞれ、-y=0,my-m-2=0となるから
m=-2のとき、x=0,y=0

よって、(i)で除かれた2点のうち
点(0,0)は補われる

したがって、求める軌跡は
円(x-1)^2+{y-(1/2)}^2=(5/4)から点(0,1)を除いたもの

なのですが何故x=0,x≠0,で場合わけしようと考えるのですか。

自分はいつもx=0,x≠0など場合わけをしなくてはいけない問題をしないで解いてしまうのですが、場合わけをしなくてはいけない問題と見極めるコツとかってありますか？

詳しく教えて頂きたいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： キノコ木下 回答日時： 2020/05/18 15:42

(ⅰ)でm=y/x としているとき，x=0を前提とすると，m=y/0となってしまう。

しかし，分母を0とする分数を前提とすることができないから　x≠0　とわざわざ設定しているのです。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/05/18 16:41

mx-y=0……①

x+my-m-2=0……②

という2式を認識した後、先に進むに当たって、mを消去する際に、y=mxだから、m=y/xとやりたくなりますよね。

そのとき、「0で割ってはいけない！」ということを思い出し（と言うか、何か文字で割り算するときは、その文字が
0でないことを確認してからでないとダメ、ということを必ず思い出さなければなりません）、ということは、
x≠0であれば、xで割ってもいいから、xで割る。ということをしているのです。

で、x≠0のときはxで割ることができてm=y/xと変形し、議論を進めた訳ですから、その議論が終わった後は、
x=0のときにどうなるのか、という議論をするわけです。

こういう場合分けは、覚えるものではなく、式の変形をするときに、仕方なく（というか必然的に）場合分けを
せざるを得なくなるから（そうしないと議論を先に進められないから）、そうするのです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/18 16:00

0で割る割り算は定義されていません！

だから０で割り算することになる可能性がある場合には要注意で場合分けもここで見極めます
mx-y=0⇔mx=yだから短絡的に
両辺xで割ってm=y/xとやるのは誤り
何故なら　割る数xは０になるケースもあるから！
x=0なのに　両辺xで割り算しようとするとそれは定義されていない０での割り算だから　そのような割り算は実行できないのです
ゆえに場合分け！
x=0なら　x=0で割り算できないから　mx-y=0より変形はしようがない！
ただし具体的にx=0ということだからこれを代入してみると0-y=0⇔y=0が得られます
x≠０なら　０での割り算にはならないので割り算実行が可能で
m=y/x
というわけです