漸化式a(n+1)=[(n+2)/n]a(n)+1の特殊解の見つけ方を教えて下さい.

漸化式a(n+1)=[(n+2)/n]a(n)+1の特殊解の見つけ方を教えて下さい.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/07 20:57

「特殊解」って言葉に勘を働かせてください。

一般的な解法で見つからないから「特殊」解なんです。
山勘または女神の啓示によって発見する必要があります。
a(n+1) = [(n+2)/n]a(n)+1 の特殊解 a0(n) をひとつ見つければ
a(n+1)-a0(n+1) = [(n+2)/n]{a(n)-a0(n)} によって
一般解に近づける...というのは正しい理解なんですが。

山勘ベースの話なので、a(n) の実際の値から推測する
のが話題の中心になります。
ところで、式中の [ ] は、単なる括弧なんでしょうか、それとも
ガウス記号なんでしょうか？

単なる括弧の場合、
a(1) = (3/1)a(1) + 1,
a(2) = (4/2)a(2) + 1,
a(3) = (5/3)a(3) + 1,…
より、
a(n) - 1/2 = {a(0) - 1/2}・{(n+2)(n+1)…3}/{n(n-1)…1}
= {a(0) - 1/2}・(n+2)!/(n!)^2
が推測されます。これは単なる推測なので、
等式が成り立つことは、数学的帰納法で示す必要があるでしょう。

[ ] がガウス記号の場合、
a(1) = [3/1]a(1) + 1 = 3a(1) + 1,
a(2) = [4/2]a(1) + 1 = 2a(2) + 1,
a(3) = [5/3]a(1) + 1 = a(3) + 1,
a(4) = [6/4]a(1) + 1 = a(4) + 1,…
n≧2 で a(n+1) = a(n)+1 となりますから、
a(1), a(2) だけ別扱いで漸化式から直接求めて
n≧2 では漸化式 a(n+1) = a(n)+1 を解けばいいです。
その際、特殊解 a(n+1) = n (n≧3) が使えるでしょう。
a(n+1) = a(n)+1 なら、等差数列ですからね。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2019/02/07 22:00

a(n+1)=[(n+2)/n]a(n)+1

帰納的に推測するしかない様に思う・・!
[]は（ガウス記号ではなく!）単にa(n)にかかる係数を括っているだけだと捉えるならば、
漸化式から順次帰納的に求めて推測すると・・
a(n)=(n(n+1)/2)*a₁ + n(n-1)/2

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/02/08 00:47

一般解を見付けて, そこに含まれるパラメータにてきとうな値を入れる.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/08 04:33

あれ、No.1 はムチャクチャだな。

我ながら、なんであんな計算になったんだろう。
酔ってたかな？
全面撤回。No.2 を参考にしてください。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/02/08 23:38

帰納的に推測しなくても, あれで割ってなにすると簡単な階差数列になるんだけどね....

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/14 21:57

差分方程式

No.7 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/15 12:10

この漸化式は、1階の定数係数の線型差分方程式である。

一般に
未知なる関数f(x)を定めるべき差分方程式が
f(x+1)ーaf(x)=g(x) ……(1)
ここに、aは0でない定数、またg(x)は与えられたある1つの関数
であって、定数項も含む。
(1)を解くために両辺をa^x+1 で割れば
f(x+1)/a^x+1 ー f(x)/a^x =g(x)/a^x+1 ………(2)
となるから、ここで
f(x)/a^x=F(x) ………(3)
とおけば、(2)は
F(x+1)ーF(x)=g(x)/a^x+1
となる。すなわち
⊿ F(x)=g(x)/a^x+1
∴ F(x)=∫ g(x)/a^x+1 ⊿ x +C ただし、Cは和分定数
(3)から
∴ f(x)=a^x ( ∫ g(x)/a^x+1 ⊿ x +C ) ……(4)

今、a n+1=(n+2)/n ・a n ,+1において、
f(x)=a x ,a=(n+2)/n ,g(x)=1 とおけば
a x=f(x)=｛(n+2)/n｝^x ( ∫ ｛n/(n+2)｝^x+1 ⊿ x +C )
=｛(n+2)/n｝^x ・ (［｛n/(n+2)｝^x+1 ］/｛ n/(n+2) ー1｝ +C )
=｛ (n+2)/n｝^x ・｛ Cー(n+2)/2 ・｛n/(n+2)｝^x+1 ｝
=C ｛(n+2)/n｝^x ーn/2
∴ a n=C ｛(n+2)/n｝^n ーn/2 ただし、Cは定数

No.8 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/15 20:47

すみませんね！aが定数でないから考え直しますね！

No.9 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/15 21:58

差分方程式のl定数変化法？

No.10 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/16 20:45

a(n+1)=｛(n+2)/n｝a(n)+0 とおいて、対数をとれば

⊿ loga(n)=log(n+2)ーlog(n) から一般解を求めて、定数変化法で特殊解を求めてください