曲線y＝X^3+X^2-1の接線で、原点を通る直線を求めよ。 すいませんが教えてもらえると光栄です。

曲線y＝X^3+X^2-1の接線で、原点を通る直線を求めよ。
すいませんが教えてもらえると光栄です。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/11 16:01

f(x)=X^3+X^2-1とおく

f'(x)=3x²+2x
求める接線と曲線との接点のx座標をｔとすると、そのy座標はf(t)=t³+t²-1
つまり接点は(t,t³+t²-1)
また、接線の傾きはf'(t)=3t²+2t
よって点(t,t³+t²-1)を通り傾きf'(t)=3t²+2tである直線（接線）の方程式は
y-(t³+t²-1)=(3t²+2t)(x-t)…①
これが原点を通るという事から
0-(t³+t²-1)=(3t²+2t)(0-t)
⇔2t³+t²+1=0
因数定理など利用で左辺を因数分解すると
(t+1)(2t²-t+1)=0
∴t=-1
これを①に代入して
y-(-1)=(1)(x+1)⇔y=x・・・答え

この回答へのお礼

ありがとうございます。
3乗の因数分解は公式通りですか？

お礼日時：2019/02/11 16:16

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/02/11 16:04

接点をp, p^3+p^2-1とする

接線の傾きは
3p^2+2p
接線の式は
y=(3p^2+2p)(x-p) + p^3+p^2-1
=p(3p+2)x -2p^3-p^2-1…②
これが原点を通るので
-2p^3-p^2-1=0
2p^3+p^2+1=0…①
これはp=-1を解に持つ
①=(p+1)(2p^2-p+1)
2p^2-p+1は解を持たない
よって解はp=-1のみ

p=-1のとき接線は②に代入して（切片は0なので傾きの計算のみでも可）
y=x

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/11 15:56

類型どおり...

y ＝ x^3 + x^2 - 1 の x = t で接する接線は
y - (t^3 + t^2 - 1) = (3t^2 + 2t)(x - t).
これが原点を通るなら、
0 - (t^3 + t^2 - 1) = (3t^2 + 2t)(0 - t).
t の方程式が現れますね。整理して
2t^3 + t^2 + 1 = 0.
これを解いて
(t + 1)(t^2 - t + 1) = 0.
t^2 - t + 1 = 0 は実数解を持たないので、
接点の x 座標は t = -1 だけです。
その接線は、
y - ((-1)^3 + (-1)^2 - 1) = (3(-1)^2 + 2(-1))(x + 1).
つまり、y = x.