（2）がルートとかが入っていて分かりません！ 解き方を教えてください‼︎ お願いします！

（2）がルートとかが入っていて分かりません！
解き方を教えてください‼︎
お願いします！

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/21 15:41

451の冒頭に書かれている式(-1/6公式）を使えるのは

積分区間1+√2と1-√2を足して、プラスマイナスを逆転させたものがxの1次の係数
1+√2と1-√2をかけたものが定数項になっている時です。
(2)では積分区間1+√2と1-√2を足したて+2,符号を逆転させて-2これがx²-2x-1の1次の係数と一致
1+√2と1-√2をかけて1-2=-1で定数項と一致だから-1/6公式が使えます。（もちろん、使用可否の判断はx²-2x-1を因数分解して積分区間と比べても良いです）
よって(2)=(-1/6)ｘ(積分区間上-積分区間下)³＝(-1/6)x{(1+√2)-(1-√2)}³=(ｰ1/6)x(2√2)³=-8√2/3
とあっさり求められ異になります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/20 17:41

「〜を利用して」って書いてあるんだから、その等式が利用できるに違いない

と考えるのが普通です。1±√2 が x^2-2x-1 の根になってるはずですよね？
本当にそうか確かめてみましょう。x^2-2x-1=0 の解は、解の公式より
x = {2±√(2^2-4*1*(-1))}/2 = 1±√2 です。 ok.そうなってますね。
と、いうことは、問題文に書かれている等式によって
(2)の積分 = (-1/6)( (1+√2) - (1-√2) )^3 です。あとは計算。

ルートが入っているのは積分区間のとこだけですから、
積分計算に恐れる部分は無くて、不定積分
∫(x^2-2x-1)dx = (1/3)x^3 - x^2 - x + C を求めることは簡単です。
ここへ 1+√2 と 1-√2 を代入して定積分の値を求めるときに、
ルートとかが入っててわからない状態にならないように、
交代式,対称式の性質を使って工夫するのです。
∫[α,β](x^2-2x-1)dx は、積分する前から α,β の交代式と判りますから、
= (α-β)(α,βの対称式) と表せます。
α,βの対称式は、α+β と αβ の多項式で表せますから、
事前に式が変形整理してあれば、1±√2 を代入して面倒な計算をせずとも
代入は 2 と -1 だけで済みます。そして最後に -2√2 を掛ける。
こうやって、ゴリ押しでも解けてしまいます。

このやり方を推し進めて、代入前の式変形を高度にしたものが、
問題が誘導している計算法です。もともと、そのための 1/6 公式です。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/20 17:14

β=1+√2 ,α=1ー√2とすれば

ー(α+β)=ー2 ,αβ=(1+√2)(1ー√2)=ー1
よって、解と係数の関係から α,βは、x^2ー2xー1=0の解である。
故に
2)=ー(1/6)(βーα)^3=ー(1/6)(βーα)(βーα)^2
=ー(1/6)2√2(α^2 +β^2 ー2αβ)
=ー(1/6)2√2((α+β)^2 ー4αβ )
=ー(1/6)2√2｛ 2^2 ー4(ー1)｝
=ー(8/3)√2

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/20 16:59

x²-2x-1=0の解が1±√2だから、x²-2x-1={x-(1-√2)}{(x-(1+√2)}

α=1-√2
β=1+√2
の形になってる訳だから

定積分=-(1/6)(β-α)³ をそのまま使う

=-(1/6) {(1+√2)-(1-√2)}³

=-(1/6) {1+√2-1+√2}³

=-(1/6) {2√2}³

=-(1/6) {2³×(√2)³}

=-(1/6) (2³×√8)

=-(1/6) (2³×2√2)

=-(1/6) (16√2)

=-(8√2)/3 [-(8/3)√2でもok]

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/02/20 16:51

ｘ²-2ｘ-1を有理数の範囲で因数分解してごらん、

そしたら上の等式の応用ってわかる。