この問題の(2)の計算の仕方がわかりません。

この問題の(2)の計算の仕方がわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/03 20:31

＞なぜuとv で置換したときと、曲座標変換したときの値が、変わるのでしょうか?

？？？
(2)を極座標変換しても、計算が全く進まなくなるだけだと思うけど。
何でそんなことしようと思ったの？

この回答へのお礼

その通りでしたありがとうございます

お礼日時：2019/03/03 20:33

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/03 16:20

ここまで露骨に置換法が示唆されていると、

工夫の余地がないね。

x = r cos t, y = 1/2 + r sin t で置換すると、
D = {(r,t): 0≦r≦1/2, 0≦t<2π},
∬ydxdy = ∬(1/2 + r sin t)rdrdt
= (1/2)∬rdrdt + ∬(r^2)(sin t)drdt
= (1/2)(∫rdr)(∫dt) + {∫(r^2)dr}{∫(sin t)dt}
= (1/2){(1/2)(1/2)^2 - (1/2)0^2}(2π - 0) + {(1/3)(1/2)^3 - (1/3)0^3}{(-cos 2π) - (-cos 0)}
= π/8 + 0.

x - y = u, x + y = v で置換すると、
D = {(u,v): -π≦u≦π, -π≦v≦π},
∬{(x-y)^2}{cos(x+y)}^2dxdy = ∬(u^2)(cos v)^2(1/2)dudv
= (1/2){∫(u^2)dy}{∫(cos v)^2dv}
= (1/2){(1/3)π^3 - (1/3)(-π)^3}{(1/2)∫(1 + cos 2v)dv}
= (1/6)(π^3){π - (-π) + (1/2)(sin 2π) - (1/2)(sin -2π)}
= (1/3)(π^4).

この回答へのお礼

丁寧な解ありがとうございます
自分で計算してみたのですが、なぜuとv で置換したときと、曲座標変換したときの値が、変わるのでしょうか?

お礼日時：2019/03/03 16:26

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/03 10:41

1) 局座標へ変換します。

I=∫[0~pi]{∫[0~sinφ]r*sinφ*rdr}dφ=pi/8.
2) x-y=u, x+y=v と変換すると、
I=∫[-pi~pi]{∫[-pi~pi]u^2*(cos(v))^2*(1/2)*du}dv
※ご自身で計算してください。