群論

Gを群とする。
このとき、x,y∈Gに対して、
x^2=y^5=1,xyx=y^2が成り立つとする。このとき、ｙ＝１を示せ。
Gが群であることがどう効いてくるのかがわかりません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/09 03:49

いや、それはないでしょ。

Ｇの元であって<x,y>の元ではないzをとると、
yz=z は、この条件だけからは示せない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/09 04:05

いや、示せたか。

y = (yyyyy)y = (yy)(yy)(yy)
= (xyx)(xyx)(xyx) = xy(xx)y(xx)yx
= xyyyx = x(yy)yx
= x(xyx)yx = (xx)y(xyx)
= y(yy).

y = yyy = (yyy)yy = 1.

意外だな。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/09 14:11

＞Gが群であることがどう効いてくるのかがわかりません。

これに答えてなかった。
No.2 の計算だけだと、y が G の部分集合 <x,y> の単位元
であることは言えるけれども、それだけでは
そもそも G に単位元があるのかないのかすら結論できない。
No.1 で口走っていたのは、その話。

G が群であれば、その単位元は部分群の単位元と一致する。

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2019/03/10 14:21

確かに, G は必ずしも群でなくてもよく, 少しは条件を弱めることが可能だね.