この問題の解説お願いします！

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No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/13 23:57

(1) まだ二項定理は使わない。

ak を (a0)+(a1)x+(a2)x^2+…+(an)x^n = (2x+1)^n と
定義したのだから、(a0)+(a1)+(a2)+…+(an) = (2・1+1)^n.

(2) ここで、二項定理が必要。
Σ[k=0..n](ak)x^k = (2x+1)^n
= Σ[k=0..n](nCk){(2x)^k}{1^(n-k)} より、
ak = (nCk)2^k.
よって、ak/a(k-1) = (nCk)2^k/(nC(k-1)2^(k-1)
= {n!/k!(n-k)!}{(k-1)!(n-k+1)!/n!}{2^k/2^(k-1)}
= 2(n-k+1)/k.

(3)
(2)より、ak = a(k-1) ⇔ 2(n-k+1)/k = 1
⇔ k = (2/3)(n+1).
これを満たす自然数 k が存在する条件は、
n+1 が 3 で割り切れること。

(4)
(2)より、ak ≧ a(k-1) ⇔ 2(n-k+1)/k ≧ 1
⇔ k ≦ (2/3)(n+1).
n = 101 のときは、k ≦ (2/3)(n+1) = 34.
等号成立は k = 34 のとき。
つまり a0 < a1 < … < a33 = a34 > a35 > … > a101.
ak が最大になる k は k = 33, 34.

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2019/03/14 11:17

n = 101 のときは、k ≦ (2/3)(n+1) = 34

n = 101 のときは、k ≦ (2/3)(n+1) = 68

No.2 回答者： taku-9023.ham 回答日時： 2019/03/13 23:22

（２）（ｎＣｋ）/(n C k-1)=(k-1)! / k! = 1/k かな...。

（自信ない）

No.1 回答者： taku-9023.ham 回答日時： 2019/03/13 23:19

(１)二項定理：

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/niko …
（4）上より₁₀₁C₅₀，₁₀₁C₅₁が最大。