a+b≧a^2-ab+b^2 わ、満たす自然数の組（a,b）を全て求めよ。 回答解説よろしくお願いし

a+b≧a^2-ab+b^2 わ、満たす自然数の組（a,b）を全て求めよ。

回答解説よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/01 21:57

２次関数の図を書きながら見てください。

a+b≧a^2-ab+b^2から、
a＾2-(b+1)a +b＾2-b≦0…①
f(a)=a＾2-(b+1)a +b＾2-bをaの２次関数とみると、
①を満たすaが存在するためには
f(a)がa軸と一点、あるいは、二点で交わるので
f(a)=0の判別式をDとおくと、
D≧0
D=(b+1)＾2-4(b＾2-b)=-3b＾2+6b+1
よって、
-3b＾2+6b+1≧0
よって、
3b＾2-6b-1≦0…②
f(b)=3b＾2-6b-1とおくと
f(b)は下に凸関数になる。
bは自然数なので、
b=1,2のとき②は成立。
２次関数の形からb=3以降は
f(b)＞0となる。
(i)b=1のとき
①から
a＾2-2a ≦0
a(a-2)≦0
aは自然数なので
a=1,2
(ii)b=2のとき
a＾2-3a +2≦0
(a-1)(a-2)≦0
aは自然数なので
a=1,2
よって、求める組は
(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)
参考になればうれしいです。