数学の問題を教えて下さい。 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 43x+18y=5 これの解説で 4

数学の問題を教えて下さい。

次の方程式の整数解をすべて求めよ。
43x+18y=5

これの解説で
43=18・2+7 移項すると 7=43-18・2
18=7・2+4 移項すると 4=18-7・2
7=4・1+3 移項すると 3=7-4・1
4=3・1+1 移項すると 1=4-3・1
よって
1=4-3・1
=4-(7-4・1)・1
=4・2+7・(-1)
とあるのですが、下から2行目の式から1番下の式になる理由がわかりません。
良ければ教えてください。

質問者からの補足コメント

• このような式以外に解き方があったら教えて頂けると有難いです。

    補足日時：2020/02/22 17:58

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/02/22 17:51

等式は合っているけど、確かに意味不明だね。

何の意図でこのような解説したんだろ？

無理矢理考えるとして、

=4-(7-4・1)・1
=4-7+4
=8-7
=4・2+7・(-1)

かな。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/02/22 17:59

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/02/22 18:37

>このような式以外に解き方があったら教えて頂けると有難いです。

整数解を求めるやり方はほぼ定型化している。

(1) 実際の解を1つ求める。
(2) 実際の解を元に整数の代数で一般解を求める。

なんだけど、今回は実際の解を1つ求めるのが結構面倒だね。
ここはある程度、総当たりでやるしかない。

43x+18y=5

は、x=-7, y=17が解の1つになる。

43x+18y=5 …(p)
43×(-7)+18×17=5 …(q)
43(x+7)+18(y-17)=0
43(x+7)=18(-y+17)

43と18は互いに素（お互いに約数にも倍数にもならない）なので、整数をkとすると、
x+7=18k
x=18k-7

43k=-y+17
y=-43k+17

上記が一般解になる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/22 18:48

4 と 7 で括るんです。

4 - (7 - 4・1)・1 = 4 - 7・1 + 4・1・1 = 4(1 + 1・1) + 7(-1) = 4・2 + 7(-1).

その後も同様に、
4 = 18 - 7・2 を上式の 4 へ代入して
4・2 + 7(-1) = (18 - 7・2)・2 + 7(-1).
この式を 7 と 18 で括って
(18 - 7・2)・2 + 7(-1) = 18・2 - 7・2・2 + 7(-1) = 18・2 + 7(-2・2 - 1) = 18・2 + 7(-5).

7 への代入も同様にやると、
1 = 18・12 + 43(-5) が見つかります。

これの両辺を 5 倍した 43(-25) + 18・60 = 5 を
43x + 18y = 5 から引くと 43(x + 25) + 18(y - 60) = 0.
43(x + 25) = -18(y - 60) の両辺の素因数分解を考えれば
x, y が求まりますね。