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数学の質問です。
a,bがすべての実数を動くとき、(a+b,a^2+b^2)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。
という問題なのですが、解けません。
とりあえず自分では、a+bとa^2+b^2を他の文字に置きかえるのと、解と係数の関係を使うのかな、くらいの発想はありますが、解答に繋がりません。
解答と解説をお願いします。

A 回答 (3件)

x=a+b     ・・・・・ ①


y=a^2+b^2  ・・・・・ ②
とおくと

①の両辺を2乗して
x^2=(a+b)^2
x^2=a^2+2ab+b^2

②を代入して
x^2=y+2ab
2ab=x^2-y
ab=(x^2-y)/2  ・・・・・ ③

①、③より a,bは2次方程式
t^2-xt+(x^2-y)/2=0
の実数解であるから
判別式をDとすると
D≧0

よって
D=x^2-4・1・(x^2-y)/2≧0
x^2-2x^2+2y≧0
2y≧x^2
y≧(1/2)x^2

したがって、a,bがすべての実数を動くとき、(a+b,a^2+b^2)の存在範囲は
放物線 y=(1/2)x^2 の上側 ( ただし境界を含む )

では?
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図のような回答は?後はご自分で完成を!

「数学の質問です。 a,bがすべての実数を」の回答画像2
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a∈R b∈R であれば、


a+b∈R
a^2+b^2∈R, a^2+b^2≧0
になるのでxy座標上に描くとx軸より上すべてってことになるのかな?
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