以前聞いた問題なんですが 極z=m(m=0,1,2...)の留数をRes(f(z),m)=πcotπ

以前聞いた問題なんですが
極z=m(m=0,1,2...)の留数をRes(f(z),m)=πcotπm/2m
(f(z)=F(z)/G(z)とするとRes(f(z),a)=F(a)/G'(a)を用いた）
と求めたんですが,Res(f(z),ia),Res(f(z),-ia),Res(f(z),m)を使って計算しても（3）がやっぱりできませんでした。解き方教えてください！

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/16 21:03

f(z)={pi*cos(pi*z)/sin(pi*z)}*g(z), g(z)=1/(z^2+a^2). とします。

このとき、大きな正数Rをとり、|z|>R のとき、|z^2*g(z)|≦M, (M>0) とできる(証明略)ので、
Σ[n=-∞~∞]g(n)=-Σ[j=1~k]Res(f, α[k]).
α[k]はC[N]で囲まれた領域内にあるfのすべての極。
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ここで、Res(f, n*pi)=1/(n^2+a^2), Res(f, a*i)=Res(f, -a*i)={pi/(2a*i)}*cot(pi*a*i).
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これにより、
Σ[n=1~∞]1/(n^2+a^2)=-1/(2a^2)+(pi/(2a))*coth(pi*a).
を得ます。詳細な計算はご自身で。
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タイプミスがあるかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！よろしかったらRes(f, n*pi)=1/(n^2+a^2)の求め方教えていただけませんか？

お礼日時：2019/03/17 06:25

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/17 07:35

z-n=u とおき、f(z)=pi*cos{pi(n+u)}/〔{(n+u)^2+a^2}*sin{pi(n+u)}〕

=pi*cos(pi*u)/{(u+n)^2+a^2)*sin(pi*u)}. ですから、
Res(f, n)=lim[u→0](u-0)*f(z)=1/(n^2+a^2). です。

この回答へのお礼

何度もすいません
・２段目の式でcos(pi(n+u))=cos(pi*u),sin(pi(n+u))=sin(pi*u)と式変形できる理由
・3段目の式で分母のsin(pi*u)→0となってしまうんではないのか？
上の質問に答えてもらっていいですか

お礼日時：2019/03/17 08:27

No.3 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/17 08:55

cos(pi*n+pi*u)=cos(pi*n)*cos(pi*u), sin(..)=.. は「加法定理」です。

また、
lim[u→0](u-0)*f(z)=1/(n^2+a^2). ですよ。
pi*u/sin(pi*u)→1. です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
本当に何度もごめんなさい。pi*u/sin(pi*u)→0/0で不定形にならないんですか？

お礼日時：2019/03/17 09:06

No.4 ベストアンサー 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/03/17 09:27

lim x/sin(x)=lim 1/cos(x)=1. ですが・・・どうしましたか？

この回答へのお礼

理解しました。すいません、ど忘れしてました。ありがとうございます

お礼日時：2019/03/17 09:30