集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

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A 回答 (1件)

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので


答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。
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この回答へのお礼

やっと集積点の概要が分かりました。位相のテストがあり勉強すればするほど集積点がわからなくなりあきらめてました。ありがとうございます。

お礼日時:2001/07/28 09:29

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Q孤立特異点におけるローラン展開

(1) (z-1)/{z(z+1)} (孤立特異点 z=-1)
(2) cos(z)/{z^2・sin(z)} (孤立特異点 z=0)

これらの関数の孤立特異点におけるローラン展開を求めよという問題の解き方がよくわかりません。変形して既知のテイラー展開を使うのだろうと思うのですが、どこから手をつけたらよいのか見当がつきません。
因みに答えは(1) 2/(z+1)、(2) 1/z^3-1/3zになるそうです。
途中の過程も詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>因みに答えは(1) 2/(z+1)、(2) 1/z^3-1/3zになるそうです。
これらの答えは間違いです。

(1) (z-1)/{z(z+1)} (孤立特異点 z=-1)
(z-1)/{z(z+1)}=z/{z(z+1)}-1/{z(z+1)}
=1/(z+1) -{1/z -1/(z+1)}
=2/(z+1) -1/z ...(☆)
と変形できるから「1/z」を孤立特異点 z=-1の周りにローラン展開すればいいでしょう。
z+1=uとおけば、孤立特異点 u=0の周りのローラン展開になります。これはu=0におけるテーラー展開なので
 1/z=1/(u-1)=-1-u-u^2-u^3- ... -u^n+ ...
   =-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3- ...-(z+1)^n - ...
これを(☆)の式に代入するだけです。

(2) cos(z)/{z^2・sin(z)} (孤立特異点 z=0)
cos(z)/{z^2・sin(z)}=(1/z^3){z/tan(z)} ...(◆)
なので「z/tan(z)」のローラン展開(テーラー展開)を求めて(1/z^3)を掛ければいいでしょう。

z/tan(z)=1-(1/3)z^2 -(1/45)z^4-(2/945)z^6)-(1/4725)z^8 -...
(◆)の式に代入
cos(z)/{z^2・sin(z)}
=z^(-3)-(1/3)z^(-1)-(1/45)z-(2/945)z^3-(1/4725)z^5 - ...

>因みに答えは(1) 2/(z+1)、(2) 1/z^3-1/3zになるそうです。
これらの答えは間違いです。

(1) (z-1)/{z(z+1)} (孤立特異点 z=-1)
(z-1)/{z(z+1)}=z/{z(z+1)}-1/{z(z+1)}
=1/(z+1) -{1/z -1/(z+1)}
=2/(z+1) -1/z ...(☆)
と変形できるから「1/z」を孤立特異点 z=-1の周りにローラン展開すればいいでしょう。
z+1=uとおけば、孤立特異点 u=0の周りのローラン展開になります。これはu=0におけるテーラー展開なので
 1/z=1/(u-1)=-1-u-u^2-u^3- ... -u^n+ ...
   =-1-(z+1)-(z+1)^2-(z+1)^3- ...-(z+1)^n - ...
こ...続きを読む

Q集積点の集合(導集合)の問題

集積点の集合(導集合)の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」(三村征雄、岩波全書)で集積点の所を勉強しています。

同書(I、p74)に於ける集積点の定義は次の通りです。

Aを距離空間Xの部分集合とするとき、1点pの任意のε-近傍V(p、ε)が少なくとも1つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。

この定義のあとにいくつかの例題があります。

(1) A={1/n},n∈N とすれば、A^a={0}、すなわちこの場合、集積点は0ただ1点である。

(2) R(実数)において、
i)Iを閉区間[a,b] とすれば、I^a=I (skylark 注:この行の二つのaは互いに無関係です)
ii)Iを開区間(a,b)とすれば、I^a=[a,b]

「これらのことは図によって容易に確かめることができる」書いてあります。実際、図をかいてみるとすぐ分かることなのですが、式でも確かめてみようとしました。

ところが、これがなかなかの苦戦。上の定義から2~3行で証明できると高をくくっていたのですが、うまくいきません。自分が発見できないだけなのでしょうが。簡単に証明する方法がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

ちなみに、私の解答は次の通りです。

(1) の解答
p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
(1) p=0 のとき
もしε>1ならば、近傍V(0,ε)はAの元をすべて含むので、ε≦1と考えてよい。逆数をとって
1/ε≧1となる。このとき 1/ε<No となるような或る自然数Noが存在するので ε>1/No

d(0,1/No)=1/No<εすなわち1/No∈V(0,ε) ∴p=0はAの集積点。

あとは、
p<0, 0<p<1、1≦pで場合分けをする

(1) p<0 のとき
d(p,0)=-p>ε>0 であるεをとり、近傍V(p,ε)を考える。
p-ε<p<p+ε<0 となるのでどのようなAの元もV(p,ε)に属さない。よって p<0 はAの集積点ではない。
(2) 0<p<1 のとき
1/p>1だから∃Noがあって No≦1/p<No+1 ゆえに1/(No+1)<p≦1/No そこでmin(d(p,1/No),d(p,1/(No+1))=εoとし
εo>ε>0なるεをとると、V(p,ε) はAの元を含まない。よって 0<p<1 はAの集積点ではない
(3) 1≦pの場合 (1)とほぼ同様にしてできる。

(2) も(1) と同様の考え方でできる。

ここまで書いてくると、木を見て森を見ず の感が強いのですが、もっとよい手法がありましたらよろしくお願い申し上げます。

集積点の集合(導集合)の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」(三村征雄、岩波全書)で集積点の所を勉強しています。

同書(I、p74)に於ける集積点の定義は次の通りです。

Aを距離空間Xの部分集合とするとき、1点pの任意のε-近傍V(p、ε)が少なくとも1つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。

この定義のあとにいくつかの例題があります...続きを読む

Aベストアンサー

pが集積点でないことを示すには、

∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ

を言わないといけません。

> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき

この書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。

> p<0 のとき

の場合を考えるのはいいとして、

> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合

という場合わけをする必要はありません。

p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。

Q離散数学の問題について質問させていただきます。

離散数学の問題について質問させていただきます。
以下の2つの問題がどうしても分かりません。
解答・解説ともに手元に無く、大変困っております。急を要しております。
どうか力をお貸し下さい。よろしくお願いします。

(1)可算集合の高々可算個の和集合が可算集合であることの証明

(2)Nを自然数全体の集合(N = {1,2,3…})としたとき、Nのべき集合すなわちすべての部分集合の集合は、可算集合でないことの証明

Aベストアンサー

(1) Q が N と対等であることを示せ.
(2) R が N と対等でないことを示せ.
もちろん
N: 自然数の集合
Q: 有理数の集合
R: 実数の集合

Qわかる方教えてください。最短経路の問題です。A点からB点を最短距離で結ぶ経路は全部で何通りあるか?

わかる方教えてください。最短経路の問題です。A点からB点を最短距離で結ぶ経路は全部で何通りあるか?
5択です
1.50通り
2・51通り
3・52通り
4・53通り
5・54通り
できれば解説もお願いします。

Aベストアンサー

左から3番目上から4番目の道路の交点をk,上から3番目左から3番目の道路をM,左から4番目、一番上の道路の交点をLとすると。K,M,Lを通る経路の合計それぞれ5C3*3C1=30,4C2*3C1=18,5C1=5。計53

Qリーマン積分

不連続点が高々可算個しかない有界な関数は有界区間[a,b]上でリーマン積分可能ですが、不連続点が連続濃度(ただしもちろんルベーグ測度0)を持つ集合で不連続な場合[a,b]上でリーマン積分不可能な例というのはありますか?もしご存知あればできるだけ簡単な例を知りたいのですが。

それとも零集合上だけで不連続となる有界な[a,b]上の関数はいつでもリーマン積分できるのでしょうか?

Aベストアンサー

積分論は専門ではありませんが、不連続点が零集合で有界であれば、リーマン積分可能と思います。
証明はそれほど難しくありません。
リーマン積分は[a,b]を多くの区間に細分し、その区間でのfの最大値、最小値と区間の幅をかけて足したものの極限値(区間を無限に細かくしたときの)です。
不連続点を含まない区間については問題ありません。
不連続点を含む区間の長さの合計は、零集合の定義から、区間を無限に細かくしていくと0に収束するはずで、無視することができます。
よって、リーマン積分は収束します。
きちんとした証明はご自分でお考えください。

Q位相空間における集積点

U(n)={n∈N|n,n+1,n+2,…}
O={Φ}∪{U(n)}
と与えられています。(N:自然数、Φ:空集合)
(N,O):位相空間におけるA={1,3,5,7,9}の集積点を求める問題で、質問があります。

私が解いた結果、集積点は 1,2,3,4,5,6,7,8 だなって思ったんです。(これあってますよね??)
で、問題はその後なんですけど、9以上の自然数が集積点でないことを示した方がいいですよね。その場合、

9≦x∈N については、
 x∈U(n)となるU(n)は 1≦n≦x だが、
 U(i)∩A=Φ (for i≧9, i∈N)
したがって9以上の自然数は集積点ではない。

っていう証明で、示せてますか??なんか論理的じゃない気がして…。アドバイスしてもらえませんか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> U(i)∩A=Φ (for i≧9, i∈N)
のところは正確には
U(9)∩A={9}
U(i)∩A=Φ (for i≧10, i∈N)
ですが,それ以外はこれで合っています.

Nの元nがAの集積点でない
⇔nを含むある開集合OでO∩(A-{n})=Φ
 となるものがある
⇔U(n)∩(A-{n})=Φ であり,最後の式は
n=9のときはU(9)∩A={9}より正しく
nが10以上のときはU(i)∩A=Φ (for i≧10, i∈N)
より正しい,というわけです.

Q濃度を求める問題

次の集合
A = {S⊂R | Sは高々可算 }
の濃度を求めよ、という問題の解き方が分からず困っています。

以下、Nを連続濃度(アレフ)とします。
(アレフが入力できないので…すいません。)

写像 f :R→A , x ↦ {x} は単射なので、N≦ |A| である事が分かります。
さらにA⊂2^Rなので、|A|≦2^Nである事も分かります。

この後、どうしたらよいのかが分かりません。
Sが有限の場合なら解けるのですが、可算となると写像をどのように作ればいいかがピンときません。
濃度はNか2^Nになるのだと思いますが…

分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

R が何だかは書かれていないけれど、
R の濃度がアレフだとは書いてある。
R と実数全体の集合の間に全単射が存在する
のだから、その一つを通じて
R と実数全体の集合を同一視することができる。
よって、以下では両者を積極的に混同する。笑

A の各元 S は、集合として高々可算なのだから、
自然数で添字づけることができる。
S が有限な場合は末尾に定数列 0 を連結すると、
S は実数の無限列へと対応づけられる。
この対応は単射である。

更に、実数列 x[n] を数列 1/(1+exp(x[n])) へ
対応づけると、S は 0 から 1 までの実数の
無限列へと単射される。

その第 n 項の小数第 k 位を d[n,k] とすると、
S は十進数字を項に持つ二重数列 d へ単射される。

自然数の直積 (n,k) は可算だから、
自然数で添字づけることができる。
(有理数が可算であることの証明を参考に。)
この添字によって、自然数→(n,k)→d[n,k]
と対応づければ、d は十進数字を項に持つ
(一重添字の)数列へ単射される。

その第 n 項を小数第 n 位と見れば、
結局、S は 0 から 1 までの範囲の
一つの実数へと単射されたことになる。

すなわち、|A|≦アレフ。
…なんだかグダグダした証明だか。

R が何だかは書かれていないけれど、
R の濃度がアレフだとは書いてある。
R と実数全体の集合の間に全単射が存在する
のだから、その一つを通じて
R と実数全体の集合を同一視することができる。
よって、以下では両者を積極的に混同する。笑

A の各元 S は、集合として高々可算なのだから、
自然数で添字づけることができる。
S が有限な場合は末尾に定数列 0 を連結すると、
S は実数の無限列へと対応づけられる。
この対応は単射である。

更に、実数列 x[n] を数列 1/(1+exp(x[n])) へ
対応づ...続きを読む

Q集積点の定義について

松坂和夫先生の解析入門3(岩波書店、ラングの本とは別)を読んでいます。

P63に集積点の定義があります。

Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA-{a}の触点であるとき、すなわち、

a∈(A-{a})の閉包 が成り立つとき、aはAの集積点とよばれる。

となっています。

閉包の定義ですが、同書P53に

定義 Aの内点または境界点である点を触点といい、Aの触点全部の集合をAの閉包という。

とあります。

ここからが疑問ですが、

上の定義によれば(A-{a})の閉包というのはA-{a}の内点または境界点ということになります。

ところが、aはA-{a}の内点ではありません。なぜなら、もしaがA-{a}の内点であるとすると、あるr>0に対して、r近傍Bは、 B(a;r)⊂A-{a}となりますが、右辺はaを含みませんので成り立ちません。

すると(A-{a})の閉包というのは、境界点のみを含むとなってしまいますが、私の推論は正しいでしょうか。「(A-{a})というのは、境界点のみの集合」とはじめから言えばいいことのように思えるのです。精査よろしくお願いいたします。

松坂和夫先生の解析入門3(岩波書店、ラングの本とは別)を読んでいます。

P63に集積点の定義があります。

Xを距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点aがA-{a}の触点であるとき、すなわち、

a∈(A-{a})の閉包 が成り立つとき、aはAの集積点とよばれる。

となっています。

閉包の定義ですが、同書P53に

定義 Aの内点または境界点である点を触点といい、Aの触点全部の集合をAの閉包という。

とあります。

ここからが疑問ですが、

上の定義によれば(A-{a})の閉包というの...続きを読む

Aベストアンサー

もしかして、聞きたいことは「aはAの集積点⇔aはA-{a}の境界点?」ですか。

Q集積点について教えて下さい。

集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである。
ということですが、
例えば、実数はだと全て数において、集積点に属し、
整数は全て孤立点に属すると思うのですが、合っていますでしょうか?

このように全ての点が集積点或いは孤立点であるという例は思いつくのですが、
いくつかの点が集積点でいくつかの点が孤立点という例が思いつきません。
どなたか教えて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

>集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである・・・
という質問者様の定義、#1さん例からもわかるように、集積点,孤立点は、最初に「集合A」を決めておかないと、何も言えません。「集合A」の集積点,孤立点ですから。
 集合Aとして、ドーナツ領域の内部と境界および中心点の合併をとれば、ドーナツの縁の点はAの集積点,中心点はAの孤立点です。なので、

・実数全体Rに対して、その任意点はRの集積点(そもそもRの閉包はRで、有理数全体がすでにRで密なので).
・整数全体をRの部分集合Nと考えた場合、Nの任意点はNの孤立点(Rの位相は、Nより細かいから).
・上記二つで、Rの位相はユークリッド距離によるものとする.

という意味でならそうです。

Q閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

Aベストアンサー

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.


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