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集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

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A 回答 (1件)

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので


答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。
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この回答へのお礼

やっと集積点の概要が分かりました。位相のテストがあり勉強すればするほど集積点がわからなくなりあきらめてました。ありがとうございます。

お礼日時:2001/07/28 09:29

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Q集積点の集合(導集合)の問題

集積点の集合(導集合)の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」(三村征雄、岩波全書)で集積点の所を勉強しています。

同書(I、p74)に於ける集積点の定義は次の通りです。

Aを距離空間Xの部分集合とするとき、1点pの任意のε-近傍V(p、ε)が少なくとも1つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。

この定義のあとにいくつかの例題があります。

(1) A={1/n},n∈N とすれば、A^a={0}、すなわちこの場合、集積点は0ただ1点である。

(2) R(実数)において、
i)Iを閉区間[a,b] とすれば、I^a=I (skylark 注:この行の二つのaは互いに無関係です)
ii)Iを開区間(a,b)とすれば、I^a=[a,b]

「これらのことは図によって容易に確かめることができる」書いてあります。実際、図をかいてみるとすぐ分かることなのですが、式でも確かめてみようとしました。

ところが、これがなかなかの苦戦。上の定義から2~3行で証明できると高をくくっていたのですが、うまくいきません。自分が発見できないだけなのでしょうが。簡単に証明する方法がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

ちなみに、私の解答は次の通りです。

(1) の解答
p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
(1) p=0 のとき
もしε>1ならば、近傍V(0,ε)はAの元をすべて含むので、ε≦1と考えてよい。逆数をとって
1/ε≧1となる。このとき 1/ε<No となるような或る自然数Noが存在するので ε>1/No

d(0,1/No)=1/No<εすなわち1/No∈V(0,ε) ∴p=0はAの集積点。

あとは、
p<0, 0<p<1、1≦pで場合分けをする

(1) p<0 のとき
d(p,0)=-p>ε>0 であるεをとり、近傍V(p,ε)を考える。
p-ε<p<p+ε<0 となるのでどのようなAの元もV(p,ε)に属さない。よって p<0 はAの集積点ではない。
(2) 0<p<1 のとき
1/p>1だから∃Noがあって No≦1/p<No+1 ゆえに1/(No+1)<p≦1/No そこでmin(d(p,1/No),d(p,1/(No+1))=εoとし
εo>ε>0なるεをとると、V(p,ε) はAの元を含まない。よって 0<p<1 はAの集積点ではない
(3) 1≦pの場合 (1)とほぼ同様にしてできる。

(2) も(1) と同様の考え方でできる。

ここまで書いてくると、木を見て森を見ず の感が強いのですが、もっとよい手法がありましたらよろしくお願い申し上げます。

集積点の集合(導集合)の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」(三村征雄、岩波全書)で集積点の所を勉強しています。

同書(I、p74)に於ける集積点の定義は次の通りです。

Aを距離空間Xの部分集合とするとき、1点pの任意のε-近傍V(p、ε)が少なくとも1つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。

この定義のあとにいくつかの例題があります...続きを読む

Aベストアンサー

pが集積点でないことを示すには、

∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ

を言わないといけません。

> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき

この書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。

> p<0 のとき

の場合を考えるのはいいとして、

> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合

という場合わけをする必要はありません。

p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。

Q閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

Aベストアンサー

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.

Q位相(閉包の性質について) 初心者です。

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。」
がなぜなのかわかりません。

以前の質問にも同じ問題に対して質問されている方がいらっしゃり、その回答では、

「「x∈B ̄⇒(A∧A')∧B≠Φ 」で、つまり閉包の性質「x∈B ̄⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」であるからである。

となっていたのですが、
なぜなのかわかりません。
そもそもこの閉包の性質の意味が理解できません。
どなたか、詳しく教えていただけないでしょうか?

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄で...続きを読む

Aベストアンサー

>Bの閉包は、集合Bということではないのですか?
そういった疑問が湧いた場合は、まずは簡単な例をもって考察すると良い。

例えば開区間 U = { x ∈ R | -1 < x < 1 } を考えると良いだろう。
すると 1 ∈ R が U の閉包に含まれているか「確認」したくなりますね。

それが出来れば、元の問題を解くことも容易いだろう。

Q開集合がコンパクトでない理由

コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
ことは何となく分かっているつもりです。

しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。
たとえば、よく教科書に掲載されている例として
開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N)  ※Nは自然数全体
で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。

でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば
それだけで有限被覆となると思います。
この矛盾はどこから来るのか分かりません。

どなたか、ご教授ねがいます。

Aベストアンサー

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとることができます
#ε=n/(n+1)をnについてといて
#それ以上の整数をとればよい.

したがって,{Xn}は(-1,1)の開被覆です.

しかし,どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません.
有限個でとめたとしたら,
n/(n+1)は1にはなれないので,n/(n+1)と1の間の数が
こぼれてしまうのです.
こういうのを「稠密性」というのでした.

ちなみに
>コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
>ことは何となく分かっているつもりです。
この理解は明らかな誤りですので
正しく理解しましょう.
有限と無限,有界はそれほどは関係しません.
ちなみに,コンパクトと有界閉集合は別の概念であり,
ある特定の条件において同値であるということも
理解しましょう.

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとること...続きを読む

Q集積点について教えて下さい。

集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである。
ということですが、
例えば、実数はだと全て数において、集積点に属し、
整数は全て孤立点に属すると思うのですが、合っていますでしょうか?

このように全ての点が集積点或いは孤立点であるという例は思いつくのですが、
いくつかの点が集積点でいくつかの点が孤立点という例が思いつきません。
どなたか教えて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

>集積点であるとは、aのどんな近くにも集合Aの或る点が無数に存在することである・・・
という質問者様の定義、#1さん例からもわかるように、集積点,孤立点は、最初に「集合A」を決めておかないと、何も言えません。「集合A」の集積点,孤立点ですから。
 集合Aとして、ドーナツ領域の内部と境界および中心点の合併をとれば、ドーナツの縁の点はAの集積点,中心点はAの孤立点です。なので、

・実数全体Rに対して、その任意点はRの集積点(そもそもRの閉包はRで、有理数全体がすでにRで密なので).
・整数全体をRの部分集合Nと考えた場合、Nの任意点はNの孤立点(Rの位相は、Nより細かいから).
・上記二つで、Rの位相はユークリッド距離によるものとする.

という意味でならそうです。

QZornの補題の意味は何?

Zornの補題の意味についての質問ですが、Zornの補題:順序集合Aの任意の全順序部分集合が有界ならぼ、Aは極大元を持つ、というのが、数学の教科書に載ってますが、意味がさっぱり分かりません。その理由を言えば、例えば、実数の区間Aとして、実数体Rの部分集合である、全順序集合{x|x is a real number, 0<x<2}をとれば、Aの任意の全順序部分集合は有界なので、Zornの補題より、Aには極大元(よって、この場合、最大値)が有る事になりますが、あきらかに、Aには極大元(最大値)はありません。私の考えではこのような矛盾が出てきてしまうので、Zornの補題の意味がわかりません。何か、その意味を勘違いしてるのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

http://okwave.jp/qa2205290.html
下記のリンク先が参考になりませんか。
また松村英之朝倉書店  集合論をみればいいかとも思います。

参考URL:http://okwave.jp/qa2205290.html

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q離散位相、密着位相はなぜそう呼ばれる?

X を集合とするとき、X のすべての部分集合からなる位相 を考えることができる。この位相を離散位相(りさんいそう、discrete topology)といい、それを開集合系とする位相空間を離散空間(りさんくうかん、discrete space)という。また、空集合と X 自身のみからなる族 {&Oslash; , X} も位相となる。この位相を密着位相(みっちゃくいそう、indiscrete topology)または自明位相 (trivial topology) といい、それを開集合系とする位相空間を密着空間という。

なぜ、離散、密着という言葉が使われるのですか?

Aベストアンサー

離散、密着とは、各点の近傍を考えての命名だと思います。

各点の開近傍で、自分だけになってしまうものが取れるので「離散」。

どんな開近傍をとっても、全ての点がご近所さんなので「密着」という理解でよいのでは?

Q基本近傍系

位相空間論の初学者です。

以下の2点をお願いします。

○1点目
「開基」のイメージとして,{距離空間における開球}
なるものを考えて納得しておるつもりですが,
「基本近傍系」のイメージを教えていただけませんでしょうか?


○2点目
新刊の教科書
『数学の基礎 集合・数・位相 基礎数学14 齋藤正彦』
の書評をおねがいします。

以上,なにとぞ、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

イメージとなるとなかなか難しいと思うのですが、まあそれゆえ正しい答えがひと通りなわけでもなくて面白いとも思いますが、僕の理解では、開基が開集合全体から余分なものを取り除いていったものという感じですかね。基本的に開基というのは位相を作るために考えるものだから、開集合のパーツであるとも言えるのかも知れません。

他方、基本近傍系ですが、これは近傍全体から余分なものを取りのぞいていった感じでしょうか。とりあえず距離空間とかでよく考えますが、年輪のようなイメージがいちばんしっくりきています、僕の場合は。とりあえず真の近傍系というふうに思っています。すっごくすっごく小さい近傍もやっぱり入っているという。

斎藤先生の本はナナメ読みしかしてないのでなんともいえないのですが、悪くはないと思いました(あまり参考にならなくて申し訳ないですが)。松阪先生の集合位相入門、内田先生の集合と位相、これらもメジャーな教科書ですね。本のレイアウトとかそんな理由で選ぶのもありですよ。どれも悪くないと思いますし。


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