画像の式を三角関数で考えると sin(θ+dθ)/ cos (θ+dθ)=tanθ+ dθcosθ/

画像の式を三角関数で考えると
sin(θ+dθ)/ cos (θ+dθ)=tanθ+ dθcosθ/dθ×(- sinθ)になるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ちなみにdθ/d tanθ=1/cos^2θを幾何学的に表せますか？

    補足日時：2019/04/08 03:30

• ちなみに、画像の式は幾何学的に求める事はできますか？
  一回微分の式を表せる事はわかりました。

    補足日時：2019/04/11 20:37

• tan(θ+dθ)=(tanθ+dθ)/(1- tanθ×dθ)を
  tan(θ+dθ)=tanθ+(d^2y/dx^2)×dxと変形できますか？
  dθは小さいとします。

    補足日時：2019/04/12 09:36

• 度々すいません。
  あの tanθ+(dθ/cos^2θ)は
  dy/dx+(d^2y/dx^2)×dxではないのですよね？
  紙に書いて解いてみましたが、tanθ+(dθ/cos^2θ)からはdy/dx+(d^2y/dx^2)×dは導けませんでした。

    補足日時：2019/04/13 00:51

• 申し訳ありません。テイラー展開に関して質問なのですが、
  f(x)≒f(x0)+1/2f(x0)'(x-x0)+1/6f(x0)"(x-x0)+f(x0)"'(x-x0)
  でした。ちなみに、1/2や1/6が掛けられるのは微分した際の余計な数字を消すためらしいですが、
  その余計な数字2や6も微分により得られたためx,yの変化量と関わりがあると思うのですが、消して大丈夫なのでしょうか？
  
  また、実用的な使い方を教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2019/04/13 18:07

No.12 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/16 22:40

大規模回答

申し訳ありません。テイラー展開に関して質問なのですが、f(x)≒f(x0)+1/2f(x0)'(x-x0)+1/6f(x0)"(x-x0)+f(x0)"'(x-x0)でした。ちなみに、1/2や1/6が掛けられるのは微分した際の余計な数字を消すためらしいですが、その余計な数字2や6も微分により得られたためx,yの変化量と関わりがあると思うのですが、消して大丈夫なのでしょうか？また、実用的な使い方を教えて頂けないでしょうか？<<それは2~=f'(α)みたいな形が出るから係数を求めるときに2で割りますね
度々すいません。あの tanθ+(dθ/cos^2θ)はdy/dx+(d^2y/dx^2)×dxではないのですよね？紙に書いて解いてみましたが、tanθ+(dθ/cos^2θ)からはdy/dx+(d^2y/dx^2)×dは導けませんでした<<そもそも「y」ってなんですか?
tan(θ+dθ)=(tanθ+dθ)/(1- tanθ×dθ)をtan(θ+dθ)=tanθ+(d^2y/dx^2)×dxと変形できますか？dθは小さいとします。<<
そもそもyとはなんですか?
ほかのも同様「y」ってなんですか?が一言コメントです

No.11 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/14 01:52

以下の説明はこのような方法でもdθは求まるという事でしょうか？>

dθは求ねる数ではないので、求まるという事はありません。その意味を理解せずに無理に求めれば、dθ=0という答えが出る。

テイラー展開に関して質問なのですが、
f(x)≒f(x0)+1/2f(x0)'(x-x0)+1/6f(x0)"(x-x0)+f(x0)"'(x-x0)
でした。

この式は間違っているので、このままでは回答できません。
No,10の指摘と比較して、何か所間違っているか見てください。回答する側は、間違えないように細心の注意をしているのに、質問する側が簡単に間違いをして質問すると、さまたげになる。
テイラー展開は、あなたの最初の質問とは別の質問だから、別の質問として投稿するのがルールではないか。また礼儀である。この教えて！gooは一問一答形式で、質問の内容を、テーマ名から検索できるようになっている。テーマ名と違う質問を始めると、検索できなくなってしまう。

消して大丈夫なのでしょうか？>

質問の趣旨が不明ですから答えられません。どこかの数字を演算規則を無視して勝手に消せば、間違った答えになる。2や6を勝手に消しても大丈夫かという質問なら、ダメにきまっている。どのような操作をするつもりなのか。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/13 22:56

f(x) ≒ f(x0) + 1/2f(x0)'(x-x0) + 1/6f(x0)"(x-x0) + f(x0)"'(x-x0) ではありません。

f(x) = f(x0) + (1/1)f(x0)'(x-x0) + (1/2)f(x0)"(x-x0)^2 + (1/6)f(x0)"'(x-x0)^3 + o(x-x0)^3 です。
テイラー展開の各項は、(1/n!){(d/dx)^n f(x) [x=x0]}(x - x0)^n になっています。
第n項を n 回微分すると定数 (d/dx)^n f(x) [x=x0] になるように、1/n! が掛けられているのですから。

実用的には、式が間違っていないか確認してから使ったほうがよいです。

No.9 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/13 08:04

dy/dx+(d^2y/dx^2)×dxではないのですよね？

紙に書いて解いてみましたが、tanθ+(dθ/cos^2θ)からはdy/dx+(d^2y/dx^2)×dは導けませんでした。>

dy/dx+(d/dx)(dy/dx)×dx＿＿①
はdy/dx=tanθ＿②を前提としているので、(d/dx)(dy/dx)の部分を(d²y/dx²)に変形できません。②dy/dx=tanθを①に代入すると
dy/dx+(d/dx)(dy/dx)×dx=tanθ+(d/dx)(tanθ)×dxとなり、１階微分の式です。
注意1　No.7で述べたように、d/dxの記号はdをdxで割ることはできません。
dy/dx=tanθ＿②を前提としているので、(d/dx)(dy/dx)＝(d/dx)(d/dx)yとすることはできません。ｙを一回微分したときに、出きたdy/dxをtanθに置き換えてから、次の微分を行うというように、問題が設定されているので、それを無視して、2回連続して微分すると与えられた問題とは違う計算を行うことになる。
注意2　②dy/dx=tanθを前提としなければ、dy/dx+(d/dx)(dy/dx)×dx＿＿①は
正しい式として使えます。その方が、普通の考え方です。普通の使い方です。
その場合は、x=x₀+dxと置いて、dxを独立変数と考えます。(x₀は定数と考える。)
すると式①は
dy/dx=(dy/dx)₀+{(d/dx)(dy/dx)}₀×dx
　　=(dy/dx)₀+(d²y/dx²)₀×dx＿③
となり、(d²y/dx²)₀の部分は2階微分が出てくる。式③を独立変数を使って積分すると
y=(dy/dx)₀×dx+(d²y/dx²)₀×(1/2)dx²+c＿④
となる。積分定数cはdx=0の時のyの値=y₀になるので、
y=y₀+(dy/dx)₀×dx+(1/2)(d²y/dx²)₀×dx²＿⑤
という近似式ができる。たとえば、関数y=x²に式⑤を適用すると、
dy/dx=2x，d²y/dx²=2だから、式⑤は式⑥となる。
y=x²=(x₀+dx)²=x₀²+(2x)₀×dx+(1/2)(2)×dx²
　　=x₀²+2x₀×dx+dx²＿⑥
右辺は(x₀+dx)²を二項展開したものとなる。
式⑤はテーラー展開の、2次の式である。同様な方法を繰り返して、テーラー展開のn次の式を導くこともできる。②dy/dx=tanθは関係ない。

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/13 06:35

ちなみに、dθを求める際に

tan(θ+dθ)の加法定理とtan(θ+dθ)= tanθ+1/cos^2θによりdθを求める場合、正しいdθは求まりますか？>

あなたが書いた式は、右辺のdθがぬけています。正しい式は
tan(θ+dθ)=tanθ+1/cos^2θ・dθ＿＿①　です。
あなたが何を期待しているかわからないが、常にdθ=0という答えが出ます。
dθ=0を式①に入れると、右辺＝tanθ＝左辺となり、成立する。これは微分の式①が使えるための条件(１)です。
ちなみに、「dθを求める際に」という言葉は、私のNo.7投稿の中には、出てきません。そこでは、
xについて、「xはOAの長さ、dxはABの長さで、両方とも独立変数だから、自分で計算したい数に決めればよいのです。」と書いた。θについても、同じように、
「ｄθは∠BODで、θは∠AOBで、両方とも独立変数だから、自分で計算したい数に決めればよいのです。」となる。
そこでは、ｄθは求める数ではなくて、勝手にきめて良い数です。
たとえ話を書くと、財布の中に１０００円入っています。x円の買い物をすると、財布にはy円残るときy=1000－ｘ＿＿②となります。「正しいｘは求まりますか？」この質問を受けると、当惑します。
あなたの「正しいdθは求まりますか？」の質問も同じです。yは式②で求められるが、ｘは、いくらの買い物をするかは、あなたが自由に決めるのだから、式②とは無関係で、式②をいじってもxは出ません。
正しく理解するために、微分式①を使う目的を復習しましょう。微分式とは、微分dθを使った式という意味です。式①の基本的使用法を、次に示す。θの三つの数値を式①に入れると③④⑤の近似式ができる。
θ=0のとき、tan(0+dθ)=tan0+1/cos²(0)・dθ=dθ＿③
θ=π/4のとき、tan(π/4+dθ)=tanπ/4+1/cos²(π/4)・dθ=1+2dθ＿④
θ=－π/4のとき、tan(－π/4+dθ)=tan(－π/4)+1/cos²(－π/4)・dθ=－1－2dθ＿⑤
さらに、θ=π/2のとき、加法定理tan(π/2+dθ)=－1/ tan(0+dθ)と③から
tan(π/2+dθ)=－1/dθ＿⑥
③④⑤はみなdθの一次式だからグラフは直線で、計算も簡単にできる。式⑥もy=1/xのグラフと同じような形である。もしtanθが分かりにくい関数で、数表がないと計算が面倒だと思うと、③～⑦の近似式はtanθのグラフの形を知るのに役立つ。図はy= tanθのグラフである。③④⑤の直線は、θの三つの数値の点の接線である。θ=π/2の付近もy=1/xのグラフを左右反転した形に描いた。さらに、tanθは周期πの周期関数だから、
グラフはθがπだけ増加または減少するたびに同じ形を繰り返す。

この回答へのお礼

「ちなみに、dθを求める際に
tan(θ+dθ)の加法定理とtan(θ+dθ)= tanθ+1/cos^2θによりdθを求める場合、正しいdθは求まりますか？>

あなたが書いた式は、右辺のdθがぬけています。正しい式は
tan(θ+dθ)=tanθ+1/cos^2θ・dθ＿＿①　です。
あなたが何を期待しているかわからないが、常にdθ=0という答えが出ます。
dθ=0を式①に入れると、右辺＝tanθ＝左辺となり、成立する。これは微分の式①が使えるための条件(１)です。
ちなみに、「dθを求める際に」という言葉は、私のNo.7投稿の中には、出てきません。そこでは、
xについて、「xはOAの長さ、dxはABの長さで、両方とも独立変数だから、自分で計算したい数に決めればよいのです。」と書いた。θについても、同じように、
「ｄθは∠BODで、θは∠AOBで、両方とも独立変数だから、自分で計算したい数に決めればよいのです。」となる。
そこでは、ｄθは求める数ではなくて、勝手にきめて良い数です。」
に関しては図のことを説明しているとわかりました。


以下の説明はこのような方法でもdθは求まるという事でしょうか？
「正しく理解するために、微分式①を使う目的を復習しましょう。微分式とは、微分dθを使った式という意味です。式①の基本的使用法を、次に示す。θの三つの数値を式①に入れると③④⑤の近似式ができる。
θ=0のとき、tan(0+dθ)=tan0+1/cos²(0)・dθ=dθ＿③
θ=π/4のとき、tan(π/4+dθ)=tanπ/4+1/cos²(π/4)・dθ=1+2dθ＿④
θ=－π/4のとき、tan(－π/4+dθ)=tan(－π/4)+1/cos²(－π/4)・dθ=－1－2dθ＿⑤
さらに、θ=π/2のとき、加法定理tan(π/2+dθ)=－1/ tan(0+dθ)と③から
tan(π/2+dθ)=－1/dθ＿⑥
」

お礼日時：2019/04/13 18:02

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/11 02:32

１、 数Ⅱの微分の知識

数Ⅱで、微分を勉強すると、y=ｘ²＿①を微分するとdy/dx=2x＿②になる。
y=ｘ^n＿③の微分はy’=nx^(n-1) ＿④である。sinｘの微分はcosｘ、sinｘの2階微分は－sinｘなどの知識を得ることができます。
２、 数Ⅲでは、微分という言葉には４通りの使い方があります。
第１は、上記の「数Ⅱの微分」で「微分学」を省略したものです。第２は、動詞として「微分する」という場合です。「微分する」とは、一つの関数f(x)から、その導関数を求める手続きを行うこと、第3は微分した結果で、①y=ｘ²の微分は、
②dy/dx=2xとなる。これは導関数のことです。１階微分、2階微分は、１階導関数、2導関数のことです。導関数は微係数ともいう。第４は「微小部分」の省略形のような名付けですが、dxを「ｘの微分」という新しい使い方です。この４通りは、みな、それぞれ違う意味なので、区別して覚えないといけないのです。第４の意味のdxを微分というのが本当の微分です。ほかの三つとは違うので、正しく定義することが必要です。
３、 数のように計算できる記号か、計算できない記号か
例えば、式②dy/dx=2xで、dy/dxは導関数で2xに等しいから、普通の数として、3倍したり、1をたしたりできる。dy/dx×3+1=2x×3+1。dy/dxはdyをdxで割ったものではないとされていて、
「ディーワイ･ディーエクス」と読む記号とされている。またdy/dxは(d/dx)yと書くこともできる。
(d/dx)は微分演算子と言い、dをdxで割る分数の形をしているが、この割り算は行う事はできない。しかし、数Ⅲで使う本当の微分は、dyをdxで割ることができるようにするために、数Ⅱで使った数学の規則を変更するものである。
４、図で表す微分の定義
左側の図は①y=ｘ²を微分して②dy/dx=2xを求めるときの図である。原点をOとし、x軸上に2点ABをOA=x、OB=x₁となるように定める。これに対応するy=ｘ²の曲線上の点をCDとすると、AC=y，BD=y₁である。
x₁－x=Δx＿③をxの差分、y₁－y=Δy＿④をyの差分という。点Cで、y=ｘ²の曲線に引いた接線をCFとすると、EF=dy＿⑤となる。dyをyの微分という。
図でEDはEFに近いので、ED≒EF＿⑥という近似式が成立する。
ED=BD－BE=BD－AC= y₁－y =Δyであるから、⑥はΔy≒dy＿⑦である。これに対応してxについては、xの差分Δxをそのままxの微分dxとすると、
Δx=dx＿⑧。式⑦を式⑧で割ると
Δy/Δx≒dy/dx＿⑨
⑨は近似式であるが、左辺でx→0の極限を取れば、式⑩の微分の定義式となる。
limΔy/Δx=dy/dx＿⑩
x→0の極限を取った時、ΔyとΔxの記号Δをdに変えるのである。
5、微分の定義
微分学は関数の増減を調べる方法を与える数学で、関数y=f(x)の増減はxの微小部分をx微分dxとし、yの微小部分dyとの比率から、dy/dx=y’=f ’(x)＿⑪が得られ、その符号で関数の増減がわかる。⑪からdy=f ’(x)dx＿⑫がyの微分dyの定義である。式⑦と⑫を使うとΔy≒dy=f ’(x)dx＿⑬により、Δyの概算値を計算できる。
6、微分の式が正確に使えるための条件
dyとdxが数として計算できることになったので、dxとしてはどのような大きさの数を使えばよいのでしょうか。左側の図で説明すると,xはOAの長さ、dxはABの長さで、両方とも独立変数だから、自分で計算したい数に決めればよいのです。dxが決まれば⑫によりdyが決まる。しかし、近似式⑦⑨⑬が成立するのは、式⑨がdx→0の極限で正確に成立することに基づくので、dxが0から大きく離れると一般的には近似式の精度が悪くなる。実際にどの程度精度があるかはf(x)の性質によるので、f(x)の性質を見ながら適当な精度が得られるような小さい値を使えばよい。
f(x)が一次式なら、近似式は正確に成立する。
右側の図はθとdθとtan(θ+dθ)，dtan(θ)の関係を示す。
Δtan(θ)= tan(θ+dθ)－tan(θ)≒dtan(θ)/dθ･dθ=sec²θ･dθ＿⑭
式⑭が成り立つためには、(1)dθ=0の時成立している必要がある。(2)両辺をdθで割って、dθ→0の極限を取った時、⑮が成立することが必要である。
limΔtan(θ)/ｄθ=lim( tan(θ+dθ)－tan(θ))/dθ=dtan(θ)/dθ=sec²θ＿⑮
(1)(2)が成り立つので，tan(θ+dθ)－tan(θ)≒sec²θ･dθ＿⑯と書くことができる。
このようにして、dyをdxで割る計算ができると、逆関数の微分の公式dx/dy=1/(dy/dx)や合成関数の微分の公式：y=f(t)，t=g(x)の時、dy/dx=dy/dt･dt/dxなどが証明できる。以上のような説明のこまかい所は、どの本にもあまり書いてない。
ここまで書かないと、あなたの質問に適切に答えられないのです。
sin(θ+dθ)/ cos (θ+dθ)=tanθ+ dθcosθ/dθ×(- sinθ)になるのでしょうか？>
あなたが質問に書いた次の式は式⑯に似ているが、(1)(2)のうち(2)の条件を満たしていないので、間違っているのです。
sin(θ+dθ)/ cos (θ+dθ)=tanθ+ dθcosθ/dθ×(- sinθ)になるのでしょうか？

この回答へのお礼

毎度毎度丁寧な解説ありがとうございます。
ちなみに、dθを求める際に
tan(θ+dθ)の加法定理とtan(θ+dθ)= tanθ+1/cos^2θによりdθを求める場合、正しいdθは求まりますか？

お礼日時：2019/04/11 20:35

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/08 18:14

ちなみにdθ/d tanθ=1/cos^2θを幾何学的に表せますか？

ⅹy平面上で原点をO、点Ａを(1,0)とする。OA=1＿①である。直線ABCはy軸に平行である。
∠ＡＯＢ=θ＿②とすると、ＡＢ=tanθ＿③である。ＯＢ=secθ＿④である。∠ＢＯC=dθとすると、∠ＡＯC=θ+dθであり、ＡC=tan(θ+dθ) ＿⑤である。点Ｂから直線ＯCに下ろした垂線をＢＤとする。
半径１の円弧をＡＥＦとすると、ＯＥ=１＿⑥，∠ＥＯＦ=ｄθ＿⑦である。弧度法(ラジアン)を使うと弧ＥＦ=ｄθ＿⑧である。dθが微小のとき、扇形ＯＥＦと三角形ＯＢＤは近似的に相似形である。
ＢＤ:ＯＢ=ＥＦ:ＯＥの中に④ＯＢ=secθ，⑧ＥＦ=ｄθ，⑥ＯＥ=１を入れると
ＢＤ: secθ=ｄθ:１からＢＤ=secθｄθ＿⑨となる。次に、三角形ＢＤＣと三角形ＯＡＣは相似形である。なぜなら、∠ＯＡＢ=∠ＢＤＣ=直角、∠Ｃは共通だからである。よってＢＣ：ＤＢ=ＯＣ：ＯＡ
これに⑨ＢＤ=secθｄθと①ＯＡ＝１を入れると、ＢＣ：secθｄθ=ＯＣ：1となり、
ＢＣ= secθｄθ×ＯＣ＿⑩となる。ＯＣはＯＢと近い長さである。ｄθが無限小の時はＯＣは⑤ＯＢ=secθと同じになり、ｄθが小さいときはＯＣ≒ＯＢ= secθとする。これを⑩に入れると
ＢＣ= secθｄθ×secθ= sec²θｄθ＿⑪となる。これより⑤ＡC=tan(θ+dθ)を求めると
ＡＣ=ＡＢ＋ＢＣに③ＡＢ=tanθと⑪ＢＣ=sec²θｄθを入れて,
ＡC=tan(θ+dθ) =tanθ+ sec²θｄθ＿⑪となる。これが幾何学的表示である。
これを変形してlim[dθ→0]の極限をとると、⑫となる。
tan(θ+dθ)－tanθ=sec²θｄθ
tan'θ＝lim[dθ→0](tan(θ+dθ)－tanθ)/ｄθ=sec²θ=1/cos²θ＿⑫

tanθの微分は、(d/dθ)tanθと書きます。tanθの微分を書き違えたことから、推量すると、貴方は微分記号dを演算子として使うときの方法、基本公式を十分マスターしていないのではないかと思う。
高校数学では微分法は数Ⅱと数Ⅲに分かれていて、数Ⅱの微分法を全部知っていても、
演算子dの使い方は十分教えません。次回に少し書いてみる。
。

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/08 05:58

あのdθ/d tanθはどうやって1/cos^2θになったのでしょうか？>

tanθの微分は、(d/dθ)tanθと書きます。あなたの書き方は少し違っています。
次の分数の微分の公式を使って下さい。
(f(x)/g(x))’={f’(x)g(x)－f(x)g’(x)}/g(x)²＿＿①
ここでf(θ)＝sinθ，g(θ)＝cosθとすると、
f’(θ)＝cosθ，g’(θ)＝－sinθ，f(θ)/g(θ)＝sinθ/cosθ＝tanθであるので式①は②となる。
(sinθ/cosθ)’=(tanθ)’={cosθ･cosθ+sinθ･sinθ}/cos²θ
={cos²θ+sin²θ}/cos²θ=1/cos²θ＿＿②
分数の微分の公式①の証明は、微分の定義により、③となる。
(f(x)/g(x))’＝lim〔Δx→0]{f(x+Δx)/g(x+Δx)－f(x)/g(x)}/Δx
＝lim〔Δx→0]{f(x+Δx)g(x)－f(x)g(x+Δx)}/Δxg(x+Δx)g(x)
＝lim〔Δx→0]{{f(x+Δx)－f(x)}g(x)－f(x){g(x+Δx)－g(x)}/Δxg(x+Δx)g(x)
＝lim〔Δx→0]
{(f(x+Δx)－f(x))/Δx}}g(x)－f(x){(g(x+Δx)－g(x))/Δx}/g(x+Δx)g(x)
={f’(x)g(x)－f(x)g’(x)}/g(x)²＿＿③
教科書に書いてある。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/08 03:15

sin(θ+dθ)/cos (θ+dθ)=tanθ+ dθcosθ/dθ×(- sinθ)＿＿①　になるのでしょうか？

なりません。全然間違っています。左辺はtan(θ+dθ)で微小量dθを含むが、右辺はdθが約分できるので、dθを含まないので、成り立つはずがない。
正しい式は　tan(θ+dθ)=sin(θ+dθ)/cos (θ+dθ)=tanθ+dθ/cos²θ＿＿②となる。
式②は左辺も右辺も、θの関数およびdθのみが関与しているので、それは写真の
tan(θ+dθ)=dy/dx+(d/dx)(dy/dx)dx＿＿③の式とは別の式です。
式③はあなたが2019/04/04 13:29に質問した投稿にある、tanθ= dy/dx＿＿④を前提として成り立つ式です。
式③は、その回答に書いたようにy=f(x)という関数が関与していて、
tanθ= f ’(x)＿＿⑤　です。
③④⑤は、yとtanθの二つの関数がかかわるので、一つの関数の微分式②よりも複雑な式です。
複雑な式③を簡単化して、②を導出することもできます。それには、x=θと仮定する。
すると式④と⑤はdy/dx= f ’(x)=tanθとなり、③は⑥となる。
tan(θ+dθ)= tanθ+(d/dθ)(tanθ)dθ＿＿⑥
ここで(d/dθ)(tanθ)=sec²θ=1/cos²θ＿＿⑦であるから、これを⑥に入れると⑧となり、すなわち、②が成立する。
tan(θ+dθ)= tanθ+ sec²θdθ= tanθ+(1/cos²θ)dθ＿＿⑧
全然間違った質問をする前に、2019/04/04 13:29のNo.3投稿をちゃんと理解した方がよいが、
あなたは、いったい、何を質問したいのだろうか。
間違ったことばかり考えても、勉強にならない。

この回答へのお礼

いつもいつもどうもありがとうございます。また、間違いをご指摘してくださりありがとうございます。
あのdθ/d tanθはどうやって1/cos^2θになったのでしょうか？
よければ過程の式を書いて頂けないでしょうか。

お礼日時：2019/04/08 03:28

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/05 19:27

tanθ+ dθcosθ/dθ×(- sinθ) のどこに括弧をつけて読めばいいのか

よく判らないのですが、いづれにせよ、
sin(θ+dθ)/cos(θ+dθ) がその式になりそうな気はしません。

式の字面どおりに普通に括弧をつければ
tanθ+ ((dθ)cosθ/dθ)×(- sinθ) でしょうが、
それでは = tanθ - (cosθ)(sinθ) になってしまいます。
空気を読んで tanθ+ (dθ)cosθ/(dθ×(- sinθ)) や
(tanθ+ (dθ)cosθ)/(dθ×(- sinθ)) と解釈してみても、
sin(θ+dθ)/cos(θ+dθ) とは一致しません。

tan(θ+dθ) を一次近似すれば、
= tanθ + (tanθ)'dθ = tanθ + (dθ)/(cosθ)^2 とか
= sin(θ+dθ)/cos(θ+dθ) = {sinθ + (cosθ)dθ}/{cosθ + (-sinθ)dθ}
= {tanθ + dθ}/{1 - (tanθ)dθ} とかのようになると思います。