ガウス積分による近似を使った スターリングの公式について なぜN>>1のとき 積分区間が-∞から∞に

ガウス積分による近似を使った
スターリングの公式について

なぜN>>1のとき
積分区間が-∞から∞になり
3次以降のテイラー展開が無視できるのか
教えていただけませんか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/04/09 07:18

この「証明」は無茶でしょう。

　仮に「n log x - x をテイラー展開を打ち切ったもので近似した」のだとすると、x≫n, x≪nのときには近似になろうはずもありません。で、実際、この「証明」でもそこまで迂闊なことは言っておらず、あくまでも (n^x)(e^(-x))を (n^n)(e^(-n))e(-((x-n)^2)/(2n)) で近似した。
　これは e(-((x-n)^2)/(2n))がx≫n, x≪nのときに急激に0に近づくから成り立つ話です。
　でも、次の項 ((x-n)^3)/(3(n^2))を入れると、「x≫n, x≪nのとき急激に0に近づく」が言えない。つまり(n^x)(e^(-x))を「e^(テーラー展開を適当な項までで打ち切ったやつ))」で近似する、という訳にはいかない。ここが一番の無茶ですね。
　さらに「証明」では、
　　∫{-∞〜0} e(-((x-n)^2)/(2n)) dx ≒ 0
とやって、積分範囲を{-∞～∞}とした。ガウス分布で「平均nから、標準偏差の√n倍以上離れている範囲」の積分なのだから、nが大きければ0でいいでしょ、ということで、直感的にはおかしくない訳ですが、でも誤差の評価がなされていない。

　なお、きちんと証明するには、たとえば
　　f(x) = log(floor(x+1/2)) （floor(t)はtを超えない最大の整数)
を使ってlog(x)を近似したときの誤差の収束性を示し、その極限値を計算します。