この関数の最大最小、またその時のθを求める問題なのですが、tanθのときってどうやりますか？

この関数の最大最小、またその時のθを求める問題なのですが、tanθのときってどうやりますか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/25 09:47

「単位円」を書いてみれば分かるとおり、

(1)　-パイ/2 < θ < パイ/2
の範囲では、tanθ は
　-無限大（ θ → -パイ/2 +0 のとき）←「θ → -パイ/2 +0」とは、「θ を大きい側（ -パイ/2 の近傍で -パイ/2 よりも大きい）から -パイ/2 に近づけたときの極限値」の意味
　0 （ θ = 0 のとき）
　+無限大（ θ ≒ パイ/2 -0 のとき）←「θ → パイ/2 -0 」とは、「θ を小さい側（ パイ/2 の近傍で パイ/2 よりも小さい）から パイ/2 に近づけたときの極限値」の意味
という「単調増加」。

(2) θ = パイ/2 では tanθ は定義されない。

(3)　パイ/2 < θ < (3/2)パイ
の範囲では、tanθ は
　-無限大（ θ → パイ/2 +0 のとき）
　0 （ θ = パイ のとき）
　+無限大（ θ → (3/2)パイ/2 -0 のとき）
という「単調増加」。


与えられた θ の範囲は -パイ/3 ≦ θ ≦ (2/3)パイ で
　-パイ/2 < -パイ/3、パイ/2 < (2/3)パイ < (3/2)パイ
なので、 θ の範囲を
　-パイ/3 ≦ θ < パイ/2
と
　パイ/2 < θ ≦ (2/3)パイ
とに分けて考えなくてはいけません。

(a) -パイ/3 ≦ θ < パイ/2 のとき
　・ θ = -パイ/3 のとき　最小値 tan(-パイ/3) = -√3
　・ θ → パイ/2 -0 のとき　最大値 +無限大

(b) -パイ/2 < θ ≦ (2/3)パイ のとき
　・ θ → パイ/2 +0 のとき　最小値 -無限大
　・ θ = (2/3)パイ のとき　最大値 tan((2/3)パイ) = -√3

以上より、-パイ/3 ≦ θ ≦ (2/3)パイ の範囲では、tanθ は
　・ θ → パイ/2 -0 のとき　最大値 +無限大
　・ θ → パイ/2 +0 のとき　最小値 -無限大
をとります。


　この問題、ふつうに考えれば θ の範囲は「-パイ/3 ≦ θ ≦ パイ/3」の誤植なのではないかなあ。

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2017/05/25 08:31

一般論として書きますと、(連続的?)微分可能な実数値関数の極値(最大・最小も含む)は微分のゼロ点か取りうる範囲の端点になります。

逆に微分ゼロのとき、その点は極大点・極小点・変曲点の何れかです。(必ずしも最大最小にはなりません)
従って、最大最小を論じるには微分ゼロの点と端点だけ考えれば良いことになります。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/05/25 08:07

tanグラフを描けば一発で判りますよ。