dが平方因子を持たず、d>1であればZ[√d] は単数を無限個持つことを示せ。 この問題の解答をお願

dが平方因子を持たず、d>1であればZ[√d] は単数を無限個持つことを示せ。
この問題の解答をお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/07 17:50

飛ばした部分を埋めよう。

|x-y√d| < 1/y を満たす整数 x,y が無数に存在する
ことを経由する。

そのためにまず、任意の自然数 n に対し
0 < y ≦ n, |x-y√d| < 1/n を満たす整数 x,y が存在する
ことを示す。

整数 p,q に対し、-p+q√d を考える。
p = [q√d] とすると 0 ≦ -p+q√d < 1 である。
区間 [0,1) を [0,1/n),　[1/n,2/n),　…,　[(1-n)/n,1) と n 等分すれば、
q = 0, 1, …, n に対する n+1 個の -p+q√d のうち
どれか２つは、鳩の巣原理により、同じ小区間に含まれる。
その2つを -p1+q1√d, -p2+q2√d として
x=p1-p2, y=q1-q2 と置けば、0 < y ≦ n, |x-y√d| < 1/n が成り立つ。

自然数 n に対して 0 < y1 ≦ n, |x1-y1√d| < 1/n が成立したとする。
この x1,y1 に対して 1/n2 < |x1-y1√d| となる自然数 n2 がとれるが、
再び上の定理により、0 < y2 ≦ n2, |x2-y2√d| < 1/n2 となるような整数 x2,y2 が存在する。
この x2,y2 は、0 < y2 ≦ n, |x2-y2√d| < 1/n を満たし、しかも x1,y1 とは異なる。
これを何回でも繰り返すことができるから、
0 < y ≦ n, |x-y√d| < 1/n を満たす x,y は無数に存在する。

0 < y ≦ n, |x-y√d| < 1/n だから |x-y√d| < 1/y でもある。

この x,y について、0 < x+y√d < (1/y)+2y√d が成り立つから
|x^2-(y^2)d| = (x+y√d) |x-y√d| < ((1/y+2y√d) (1/y) = (1/y^2)+2√d ≦ 1+2√d である。
-1-2√d ≦ L ≦ 1+2√d を満たす整数 L は有限個だが
|x-y√d| < 1/y を満たす整数 x,y は無数にあるので、ここでも鳩の巣原理より、
|x-y√d| < 1/y, x^2-(y^2)d = L を満たす整数 x,y が無数にあるような整数 L が存在する。

その x,y を、L で割った余りで分類すると
(x,y) は L^2 個の有限種類に分類されるから、どこかの分類には2個以上の (x,y) が含まれる。
それを (x1,y1),(x2,y2) として x1=x2+aL, y2=y2+bL, X=x1x2-y1y2d, Y=ay2-bx2 と置くと、
X^2-(Y^2)d=1 が成立している。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/07 17:42

「ペル方程式」をgoogleしたら早いと思うけど...

x+y√d が Z[√d] の単数であるとは、
(x+y√d)(u+v√d)=1 となる u+v√d∈Z[√d] が存在すること。
方程式 x^2-dy^2=1 の整数解 x,y を考えると、
(x+y√d)(x-r√d)=1 より x+y√d は Z[√d] の単数である。
自然数 m に対し、(x+y√d)^m・(x-r√d)^m=1 より
(x+y√d)^m も Z[√d] の単数となる。

x^2-dy^2=1 の解 x,y のうち、y≠0 であるもの
の存在を、ひとまず仮定する。 (これの存在は、後で証明する。)
x+y√d > 1 > x-y√d > 0 であることが判るので、
(x+y√d)^(m+1) > (x+y√d)^m であり
異なる m に対する (x+y√d)^m は全て異なる。

よって、Z[√d] の単数は無数にある。