Qを有理数体として多項式環A=Q[X,Y]において単項イデアル P=(X^2-Y^3)を考える。 P

Qを有理数体として多項式環A=Q[X,Y]において単項イデアル
P=(X^2-Y^3)を考える。

Pが素イデアルであることを示し、A/Pが整閉でないことを示せ。

この問いについて

Pが素イデアルであることは示すことができました。

A/Pが整閉でないことについてはある方から

X/Y は A/P の分数体の元であって、かつ A/P の元ではないが、
A/P 係数モニック多項式 f(t) = t^3 - X を持つ。よって、A/P の整閉包は A/P ではない。という解答をいただきました。

「X/Y は A/P の分数体の元であって、かつ A/P の元ではない」

という部分についてなのですが、X,YはA/Pの元なのでしょうか？

X,YはA/Pの元であればx/YはA/Pの分数体の元であることがわかります。しかしX/YはA/Pの元でないことはどうのようにしてわかるのでしょうか？

長々と書いてしまいましたが、まとめると

1 X,YはA/Pの元なのでしょうか？

2X/YはA/Pの元でないことはどうのようにしてわかるのでしょうか？

以上二点よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• X/Y がその意味で A/P の元だというのは
  A の元 R, K で X-RY = (X^2-Y^3)K となるものが存在する
  という意味になります。
  
  この部分がわかりません。もう少し詳しく解説していただけますでしょうか？

    補足日時：2019/04/14 19:44

• X/YがA/Pの元である→
  
  X/Y=R+(X^2-Y^3)となるQ[x,Y]の元Rが存在する。
  
  よってX-RY=Y(X^2-Y^3)となる
  
  ではないのでしょうか？

    補足日時：2019/04/14 20:07

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/12 00:37

そこがひっかかりましたか。

X/Y が A/P の分数体の元だと書いたのは、
2回目の質問にも返答したように
A から A/P への自然な埋め込みによって
X/Y は A/P の分数体に対応する元を持つ
という意味です。

X/Y がその意味で A/P の元だというのは
A の元 R, K で X-RY = (X^2-Y^3)K となるものが存在する
という意味になります。
R, K は A = Q[X,Y] の元です。上式へ代入して展開すると
Y についての定数項が左辺では X、右辺では X^2 の倍数
になりますから、決して一致しません。