数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。

写真の問題の解説をしてください。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/05/11 18:41

方程式の左辺をf(x)とおけば

f(－1)＞0、f(1)＜0　
また
ｘ→＋∞のときf(x)→＋∞
ｘ→－∞のときf(x)→－∞
以上から
ｘ＜－1、－1＜ｘ＜1、1＜ｘの範囲に
方程式の解が1つずつ計3個存在する。
(連続関数の中間値定理)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/12 10:40

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/05/11 18:30

x²の項が無ければ、判別式で一発だけど、違うから・・・。

それではどうするかというと、関数に置き換えて考えるようにします。
つまり、 y=x³−9x-m(x²-1)が x 軸といくつ共有点を持つか、を考える。
この関数が0になる場合を調べる、ということです。

関数を微分すれば、極大・極小がわかり、グラフの形が分かるため、 x軸との共有点の数もわかる、という流れ。

---------------- では早速 -------------------------------

y'=3x²-9-2mx=3x²-2mx-9
y'の関数について、D/4=m²+27>0だから、関数y'=0 は常に異なる実数解をもつ。
∴元の関数は極大、極小をもつ。

y=f(x), y'=f'(x), 　で、x=s で極小、 x=t で極大とする。
この場合は、f'(s)=0, f'(t)=0が言える。[では早速の2行目]

f(s)f(t)<0 が言えれば、グラフから実数解３個をもつ
[f(s)f(t)<0なら、元関数はx軸と3回交差してる訳だから]

極大、極小の計算のため f(x)をf'(x)/3で割り算する。

実際割り算をすると
f(x)=(1/3)f'(x)(x-(m/3))-(6+(1/9)m²)x

f'(s)=0, f'(t)=0だったから
f(s)=(1/3)f'(s)(x-(m/3))-(6+(1/9)m²)s-s(6+(1/9)m²)= 0-s(6+(1/9)m²)
f(t)=(1/3)f'(t)(x-(m/3))-(6+(1/9)m²)t-t(6+(1/9)m²)= 0-t(6+(1/9)m²)


∴f(s)f(t)=st(6+(1/9)m²)²

ここで、sとtは3x²-2mx-9=0の解だった[y'=3x²-2mx-9の解]
∴2次方程式の解と係数の関係よりst=-3

f(s)f(t)=-3[6+(1/9)m²]²<0
mがどんな実数で成立するので、つねに異なる実数解３個をもつ

↓

極大点と極小点のy座標が、x軸を境として+側と-側にある訳だから、3次関数グラフがx軸を3回切る形。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/12 10:40