A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
①から⑤の式は行列が見にくいので、図に表示した。
AとBはn次の正方行列とする。Eはn次の単位行列とする。
Oはn次の0行列とする。①
(E -E は2n次の正方行列である。
O E)
(A B は2n次の正方行列である。
B A)
(E E は2n次の正方行列である。
O E)
この三つの2n次の正方行列をこの順にかけると
(E -E (A B (E E _①
O E) B A) O E)
=(A-B B-A (E E
B A ) O E)
=(A-B O
B A+B)
この式の行列式を計算する。
右上または左下に0行列がある行列の行列式は、
対角要素のn次行列の行列式の積となるので
①の1行目の二つの2n次行列の行列式は1となる。
det(E -E =detE×detE=1_②
O E)
det(E E =detE×detE=1_③
O E)
①の3行目の2n次行列の行列式はdet(A-B)×det(A+B)となる。
det(A-B O = det(A-B)×det(A+B)_④
B A+B)
ゆえに、式①の行列式は⑤となる。
det( A B = det(A-B)×det(A+B)_⑤
B A)
A+BとA-Bが正則行列なら、右辺は0でない。よって
左辺の行列式は0でないから
(A B
B A)は正則行列である。
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