解答の導き方を教えていただきたいです。 お願いします。

解答の導き方を教えていただきたいです。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/08 12:09

(1)

f0'(t)=(1)'=0
f1(x)=1+∫{f0(t)+tf0'(t)}dt=1+∫(1+t・０)dt=1+[t](0～x)=1+x
f1'(t)=(1+t)'=1
f2(x)=1+∫{f1(t)+tf1'(t)}dt=1+∫{(1+t)+t}dt=1+[t+t²](0～x)=1+x+x²
f2'(t)=(1+t+t²)'=1+2t
f3(x)=1+∫{f2(t)+tf2'(t)}dt=1+∫{(1+t+t²)+t(1+2t)}dt=1+[t+t²+t³](0～x)=1+x+x²+x³

（２）
(1)よりfn(x)=1+x+x²+x³+・・・+x^n…①と推測される

帰納法による証明
[A] n=1のとき①が成り立つ
[B] n=kのとき①が成り立つと仮定すると
fk(x)=1+x+x²+x³+・・・+x^k
fk'(x)=1+2x+3x²+・・・+kx^(k-1)

n=K+1のときを考えると
f(K+1)x=1+∫{fk(t)+tfk'(t)}dt
=1+∫{(1+t+t²+t³+・・・+t^k)+t(1+2t+3t²+・・・+kt^(k-1))}dt
＝1+∫{1+2t+3t²＋4t³+・・・+(k+1)t^k}dt
=1+[t+t²+t³+t⁴+・・・+t^(k+1)](0～x)
=1+x+x²+x³+x⁴+・・・+x^(k+1)
よって、n=k+1のときも①が成り立つ
[A,B]から数学的帰納法によりfn(x)=1+x+x²+x³+・・・+x^nが成り立つ

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/08 14:09

Fn(t) = ∫[0,t] fn(x) dx = ∫[0,t]{ 1 + x + x^2 + … + x^n }dx

= t + t^2/2 + t^3/3 + … t^(n+1)/(n+1).

∫[0,1] Fn(t) dt = ∫[0,1]{ t + t^2/2 + t^3/3 + … t^(n+1)/(n+1) }dt
= (1^2 - 0^2)/2 + (1^3 - 0^3)/(2・3) + (1^4 - 0^4)/(3・4) + … + (1^(n+2) - 0^(n+2))/((n+1)(n+2)
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/(n+1) - 1/(n+2))
= 1 - 1/(n+2)
→ 1　(when n→∞).

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/08 12:14

(3)は積分範囲がよく読み取れない