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電磁気学の問題です。
解き方を教えてください。

総電荷Qの一様な帯電球がある。

帯電球の中心からrの距離での静電ポテンシャルを求めよ。

ただし、帯電球の中心を原点とし、r方向をz軸にとることに注意せよ。

よろしくお願いします!

「電磁気学の問題です。 解き方を教えてくだ」の質問画像

A 回答 (1件)

静電ポテンシャル=電位だということが分かっていますか?


この例題はどんなテキストにも、参考書にも、必ず載っていますよ?
勉強していないのではありませんか?

正攻法は
(i) ガウスの法則を使って、位置 r での電場を求める。
(ii) そこに単位電荷を置いたときに働く力を求める。
(iii) 静電ポテンシャルの基準点は通常「無限遠」にとるので、単位電荷を無限遠から距離 r まで持ってくるために与える仕事を求める。
(iv) エネルギー保存則より、その「仕事」が静電ポテンシャルになる。

具体的にやるには、球の内側と外側では場合分けが必要です。導体球の半径を a とする。

(1) a≦r のとき
(i) ガウスの法則より、空間の誘電率を ε として
  ∲Edr = Q/ε
ガウス面を「半径 z (≧a) の球面」にとれば
  4パイz^2 *E = Q/ε
→ E = Q/(4パイεz^2)   ①

(ii) 単位電荷に働く力は
  F = Q/(4パイεz^2)   ②

(iii) ②をz:∞→r で積分して
  ∫[∞→r]Fdz = ∫[∞→r][Q/(4パイεz^2)]dz = [-Q/(4パイεz)][∞→r] = Q/(4パイεr)   ③

(iv) ③が a≦r における静電ポテンシャル。

(2) r<a のとき
(i) ガウスの法則より、空間の誘電率を ε として
  ∲Edr = Q/ε
ガウス面を「半径 z (<a) の球面」にとれば、その中に電荷はないので
  4パイz^2 *E = 0
→ E = 0   ④
(つまり、導体球内には電場はない)

(ii) 単位電荷に働く力は
  F = 0   ⑤

(iii) ⑤をz:∞→r で積分すると、z:∞→a までは②式なので
  ∫[∞→r]Fdz = ∫[∞→a][Q/(4パイεz^2)]dz + ∫[a→r]0dz = [-Q/(4パイεz)][∞→a] = Q/(4パイεa)   ⑥

(iv) ⑥が r<a における静電ポテンシャル、つまり「一定値」。


>ただし、帯電球の中心を原点とし、r方向をz軸にとることに注意せよ。

この注意書きの意味がよく分かりませんが、上記では静電ポテンシャルを求めるための「経路」を「z軸」としました。
球面対象なので、どこを選んでも同じですが。
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