関係式導出

-x^4+4*x^3+8*x^2+y=0,x*X+y*Y+1=0
から　X,Yの関係式を(途中も明記し)導出願います;

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/20 19:57

なぜ、x,y と X,Y をひとつの式に混用するのか。

読みにくいじゃないか。

∃u,v; -u^4+4u^3+8u^2+v=0, uX+vY+1=0
を満たす (X,Y) は2次元の自由度があるから、
その軌跡は曲線ではなく領域となる。
「関係式」は等式ではなく、不等式と見るべきか。
だとすると、u,v,X,Y は実変数なんだろな。

-u^4+4u^3+8u^2+v=0 により、u に対する v は常に決まるから、
v を消去した Yu^4-4Yu^3-8Yu^2+Xu+1=0　←[1]
を満たす実数 u が存在する範囲が、X,Y の軌跡となる。

Y=0 のとき、[1] ⇔ Xu+1=0 だから、解u の存在条件は X≠0 である。

Y≠0 のとき、[1] ⇔ u^4-4u^3-8u^2+(X/Y)u+(1/Y)=0 である。
f(u)=u^4-4u^3-8u^2+(X/Y)u+(1/Y) と置く。
f’(u)=4u^3-12u^2-16u+(X/Y),
f’’(u)=12u^2-24u-16=4(3u^2-6u-4) となる。

f’’(u)=0 ⇔ u=1±√(7/3) より、3次関数 f’(u) は
唯一の極大値 f’(1-√(7/3))=(X/Y)-6+(14/9)√21 と
唯一の極小値 f’(1+√(7/3))=(X/Y)-6-(14/9)√21 を持つ。
(u^3-3u^2-4u=(1/3)(u-1)(3u^2-6u-4)-(2/3)(7u+2) を参考に)

以上より、4次関数 f(u) は
[a]　6+(14/9)√21≦X/Y のとき、唯一の極小値 f(1-√(7/3)) を持ち、
[b]　6-(14/9)√21)<X/Y<6+(14/9)√21 のとき、
　　　2個の極小値 f(1-√(7/3)), f(1+√(7/3)) と1個の極大値を持ち、
[c]　X/Y≦6-(14/9)√21 のとき、唯一の極小値 f(1+√(7/3)) を持つ。
いずれの場合も、lim[u→±∞]f(u)=+∞ である。

f(u)=0 が実数解u を持つ条件は、
[a]の場合に f(1-√(7/3))≦0
[b]の場合に f(1-√(7/3))≦0 または f(1+√(7/3))≦0
[c]の場合に f(1+√(7/3))≦0
のどれかが満たされる場合となる。　←[2]

f(1-√(7/3))=(1-√(7/3))(X/Y)+(8√21-344/9)+(1/Y)
f(1+√(7/3))=(1+√(7/3))(X/Y)+(-8√21-344/9)+(1/Y)
(u^4-4u^3-8u^2=(1/9)(3u^2-6u-32)(3u^2-6u-4)-(24u+128/9) を参考に)
より、
f(1-√(7/3))≦0 ⇔ Y{ (1-√(7/3))X+(8√21-344/9)Y+1 }≦0.
f(1+√(7/3))≦0 ⇔ Y{ (1+√(7/3))X+(-8√21-344/9)Y+1 }≦0.

以上により、XY座表面上に
Y=0,
(6+(14/9)√21)Y=X,
(6-(14/9)√21)Y=X,
(1-√(7/3))X+(8√21-344/9)Y+1=0,
(1+√(7/3))X+(-8√21-344/9)Y+1=0
の各直線を記入して、[2]を満たす領域を図示すると
添付の図のようになる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/21 00:37

図を添付してなかった。

No.1 の結論を更に少し整理すると、
( Y=0 かつ x≠0 )　または
( Y>0 かつ X>(6-(14/9)√21)Y かつ (1-√(7/3))X+(8√21-344/9)Y+1≦0 )　または
( Y>0 かつ X<(6+(14/9)√21)Y かつ (1+√(7/3))X+(-8√21-344/9)Y+1≦0 )　または
( Y<0 かつ X<(6-(14/9)√21)Y かつ (1-√(7/3))X+(8√21-344/9)Y+1≧0 )　または
( Y>0 かつ X>(6+(14/9)√21)Y かつ (1+√(7/3))X+(-8√21-344/9)Y+1≦0 ).
となる。

これを図示すると、添付図の水色に塗った領域となる。
ただし、青線の境界は原点を除いて含み、赤線の境界は含まない。