微分法 これの223の(2).(3)を教えてください。

微分法



これの223の(2).(3)を教えてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/07 17:17

(2)

f’(x)=0 の解を x=α,β (α<β)とするとき、 f(α)-f(β) を計算せよ
という問題です。

f’(x)=3x^2+2ax+b=0 が二次方程式なので、解と係数の関係から
α+β=-2a/3, αβ=b/3 だと判ります。　←[1]
f(α)-f(β) = (α^3+aα^2+bα) - (β^3+aβ^2+bβ)
= (α^3-β^3) + a(α^2-β^2) + b(α-β)
=(α-β)(α^2+αβ+β^2) + a(α-β)(α+β) + b(α-β)
=(α-β){ ((α+β)^2-αβ) + a(α+β) + b }.　←[2]

あとは α-β の値が判れば ok ですが、
それには、f(x) のグラフの概形に関する知識から
f(x) が極大になる x=α と極小になる x=β では α<β
であることを使います。
(α-β)^2 = α^2 -2αβ + β^2 = (α+β)^2 - 4αβ から
α-β = ー√((α+β)^2 - 4αβ).　←[3]

[2]に[3]と[1]を代入すれば、答えになりますね。
式は整理しておいてください。

(3)
(2)の結果は f(α)-f(β) = (4/27)(a^2 - 3b)^(3/2) になります。
これが最小値をとるのは、a^2 - 3b が最小値をとるときです。
a = 0, b = -1 のときの a^2-3b = 4,
f(α)-f(β) = 32/27 が最小ですね。

記述式の問題であれば、S 内の (a,b) が(1)の条件を満たしている
ことに一言触れておくことは必要でしょう。