多変量正規分布の積率母関数 多変量正規分布のモーメント母関数からの平均ベクトル、分散共分散行列の導出

多変量正規分布の積率母関数

多変量正規分布のモーメント母関数からの平均ベクトル、分散共分散行列の導出について質問します。

平均ベクトルをμ、分散共分散行列をΣとすると、多変量正規分布の積率母関数はtをベクトルとして

M(t)＝exp{(μ^T)t＋(1/2)(t^T)Σt}

となり、これをtについて２次までテイラー展開すると、剰余項を省略し

M(t)＝1＋(μ^T)t＋(1/2)(t^T){Σ＋μ(μ^T)}t

となります。

tで１回微分、２回微分したものに0を代入したものはM'(0)＝μ、M''(0)＝Σ＋μ(μ^T)

となりますが、平均ベクトルはM'(0)で求まります。

しかし、分散共分散行列はM'(0)の２乗が「ベクトルの２乗」にあたり、計算できず、１次元で分散を求める式である、M''(0)－{M'(0)}^2で分散共分散行列が求められません。

どう求めれば良いのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/16 01:30

M''(0)＝Σ＋μ(μ^T)

なら
Σ = M''(0) - μ(μ^T)
なのでは?

この回答へのお礼

とても簡単なところを見落としておりました。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/07/16 07:05