漸化式①an+1=pan+q（p,qは共に定数、n=1.2.3..）のときの解法についてです。 ①の

漸化式①an+1=pan+q（p,qは共に定数、n=1.2.3..）のときの解法についてです。
①の方程式ーα=pα+qで式を変形させて解く問題だそうなのですが、なぜan、an+1を共にαと置くことが出来るのでしょうか、、

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/07/20 07:42

a(n+1)=pa(n)+q (p≠1)

という漸化式を
a(n+1)-α=p{a(n)-α}
という形に変形したいとします。
a(n+1)=pa(n)+(1-p)α
係数比較して
(1-p)α=q
α=q/(1-p)
となります。これをいちいち計算するより
-α=pα+q
と変形した形を公式として覚えておいた方が簡単だということに過ぎません。これを特性方程式と言います。
理屈ではなく形式的に覚えておきましょう。

ちなみに p=1 の時は等差数列なので別の方法で求めます。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/20 10:50

初項a,

a[n+1]=pa[n]+q…①とする
α=pα+q（特性方程式）・・・②を満たす定数αに対し①ー②から
a[n+1]-α=p(a[n]-α)…③
ここで、a[n]-α=b[n]とおくと　③はb[n+1]=pb[n]となるから
b[n]は公比pの等比数列となる
すなわちa[n]-αは等比数列（a[n]-αは初項a[1]-α=a-α、公比p)
この事から、①のan、an+1を共にαと置くと、③のような等比数列が出来るのです。
これがαと置く理由です。


以下、公比ｐの値は既に分かっているので、②からαの値を求めれば初項が分かり
等比数列：a[n]-α　の具体的な形が求まるのです
そうなれば、-αを移項するだけでa[n]の一般項が求められるというわけです

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/07/20 13:06

だからさ、なぜなのか、をきちんと解説した教材が手元に無ければならないの。

なぜ聞くのかなぁと。
なぜなんだろう、と思うのは非常に良い事なんですよ。でも、その良い事を生かせてない。
自力解決をもっと試みた方が良い。その方が学力が上がる。
疑問に感じたところまでは凄く良いんだけれどね。

とにかく持って行きたいのは、ｂₙ₊₁＝ｐｂₙの形。
数列の場合は、持って行きたい形が見えていることが大事で、そこに強引に持って行くと上手く行くことが多いよね。
これに照らして、
ｂₙ₊₁＝ｐｂₙ
ｂₙ＝ａₙ＋α
となるような数列ｂₙとαを考えてみる。
⇔
(ａₙ₊₁＋α)＝ｐ(ａₙ＋α)
⇔
ａₙ₊₁＝ｐａₙ＋ｐα－α
(ｐ－１)α＝ｑ
α＝ｑ／(ｐ－１)
ｂₙ＝
ａₙ＝
なんてぇことでしょう。αの符号を逆にして使ったけど。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/20 18:35

a[n]、a[n+1]を共にαと置いたのではありません。

その証拠に、α=pα+q という式を立てた後で、ただの一度も
a[n]=α とか a[n+1]=α として扱うことはありませんでした。
解法を見なおして、確認してください。

方程式 α=pα+q は、漸化式 a[n+1]=pa[n]+q を解く上で
たまたま有用で何か関連がある.というだけで、
漸化式とは別個の方程式です。

a[n+1]=pa[n]+q という式を見て、それとは別に
α=pα+q という式を立てることは、
a[n]=a[n+1]=α と置くこととは全く違います。