重解と接していることについての質問です。 f(x)が(x-a)²を因数に持つ条件はf(a)=f'(a

Question

重解と接していることについての質問です。
f(x)が(x-a)²を因数に持つ条件はf(a)=f'(a)=0
という定理から2重解の場合は接しているということが納得いくのですが三重解まで拡張した場合接していると言えるのは3回微分まで考えないといけない訳です一概に三重解ならば接するとは言えないと思います。
下の問題の模範解答では(x-a)³(x-b)を展開して係数比較でもとくことが可能と言っていましたがここの部分がよくわかりません。
例えばy=(x-1)³はX軸と接していると言えるのでしょうか？"接する"というものがどういうものか分かりません。微分の定義に従って考えるとy=(x-1)³も接しているのではないかと思ってしまいます。

ありものがたり · Accepted Answer

「接している」の意味が解らないのかな？
グラフの絵面がどうのこうのと考えていても、混乱するだけです。
図解は定義にはなりません。
「接する」の定義は、その点で座標と接線が一致すること。
y = f(x) と y = g(x) が x = a で接する必要十分条件は
f(a) = g(a), f’(a) = g’(a) です。
F(x) = f(x) - g(x) と置けば F(a) = F’(a) = 0 と書けます。

y = f(x) と y = 0 (x軸) について言えば
x = a で接する必要十分条件は f(a) = f’(a) = 0 です。
f(x) = 0 が x = a で三重以上の重根を持つ場合、
f(x) = (x-a)^3 h(x) (h(x)は多項式) と書けるので
f(a) = f’(a) = 0 が成り立つことは当然でしょう。
もちろん、y = (x-1)^3 は、x = 1 で x軸に接しています。

写真の問題は、L を y = px+q、C を y = f(x) として、
f(x) = (px+q) となる x が 2 個であることから
f(x) - (px+q) = c (x-a)^m (x-b)^n (a,b,cは実数、m,nは自然数)
と因数分解されますが、接しているのは一方の交点だけなので、
m,n のうち残りのほうは 2未満です。
n = 1 とすれば、f(x) が四次式なので m = 3 となります。

konjii · Answer

f(x)が(x-a)²を因数に持つ条件はf(a)=f'(a)=0、この時ｘ＝aで接しているとは言えません。
y=(x-1)³の場合、ｙ’＝３（x-1)²、Y"=６（x-1)でｘ＝１は交点であり変曲点です。
１，３次関数はｘ軸と接点のみ持つことはありません。（図で確認してください）
２，４次関数はｘ軸と接点のみ持つことがあります。（図で確認してください）

rnakamra · Answer

>一概に三重解ならば接するとは言えないと思います。

質問者は接するというと交差してはならないと思っていませんか?
交差しているかしていないかは接しているということとは無関係です。

二つの線が接しているというのはその交点で二つの線の微分係数が一致する、というだけのことです。

y=x^3の曲線はx=0でx軸と接しています。この点ではy=x^3とx軸は交差していますが接しているのです。

Tacosan · Answer

ちょっと何をいっているのかわからんのだけど, 普通の定義では
y=(x-1)³はX軸と接している
ということになるね.

重解と接していることについての質問です。 f(x)が(x-a)²を因数に持つ条件はf(a)=f'(a

「接している」の意味が解らないのかな？

f(x)が(x-a)²を因数に持つ条件はf(a)=f'(a)=0、この時ｘ＝aで接しているとは言えません。

>一概に三重解ならば接するとは言えないと思います。

ちょっと何をいっているのかわからんのだけど, 普通の定義では

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