A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
lim(x→∞)f(x)=0
は
xを∞に飛ばすと,0になるという意味ではありません
---------------------------
真の極限の定義)
どんなに小さな正実数
ε>0に対しても
ある大きな正実数
K>0が存在して
それよりも大きな
x>K となるような実数
xに対して
|f(x)|<ε
となるとき
lim(x→∞)f(x)=0
と
定義するのです
--------------------
任意のε>0に対して
K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x
x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…
だから
e^x>x+x^2/2+x^3/6
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
6/x>(6+3x+x^2)/e^x
|f(x)|
=|x^2+2x-2|/e^x
<(x^2+3x+6)/e^x
<6/x
<ε
だから
極限の定義から
lim_{x→∞}f(x)=0
No.7
- 回答日時:
lim[x→∞]x/x^2 は∞/∞型ですが
lim[x→∞]x/x^2=lim[x→∞]1/x=0
からわかるように∞/∞型が収束しないとは限りません。
テーラー展開から
x>0で
e^x>1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3
を知っていれば 0 になるのは明白です。
No.6
- 回答日時:
分子のx^2も
分母のe^xも∞に向かうけれども
分子のx^2よりも
分母のe^xの方が∞に向かう向かい方が強いのです
だから 0 になるのです
x^3/6<e^x だから
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
x^2/e^x < 6/x
0≦lim_{x→∞}x^2/e^x≦lim_{x→∞}6/x=0
0=lim_{x→∞}x^2/e^x=lim_{x→∞}6/x=0
No.5
- 回答日時:
たしかにx^2/e^xは∞/∞の不定形だけど極限値はたしかに0になる。
それを証明するには少し工夫がいる。たとえば
不等式1+x≦e^xでxの代わりにx/4とすれば
1+x/4≦e^(x/4)、この両辺をe^(x/2)で割って整理すると
x/e^(x/2)≦4/e^(x/4)-4/e^(x/2) これから
x→∞のとき右辺は→0だからx/e^(x/2)の極限値も0
したがってx^2/e^x=[x/e^(x/2)]^2の極限値は0^2=0になる。
No.4
- 回答日時:
任意のε>0に対して
K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x
x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…
だから
e^x>x+x^2/2+x^3/6
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
6/x>(6+3x+x^2)/e^x
|f(x)|
=|x^2+2x-2|/e^x
<(x^2+3x+6)/e^x
<6/x
<ε
だから
極限の定義から
lim_{x→∞}f(x)=0
No.3
- 回答日時:
任意のε>0に対して
K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x
x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…
だから
x^3/6<e^x
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
x^2/e^x<6/x …(1)
↓6/x<εだから
x^2/e^x<ε
だから
極限の定義から
lim_{x→∞}x^2/e^x=0
---------------------------------------
あるいは(1)から
0<x^2/e^x<6/x
だから
0≦lim_{x→∞}x^2/e^x≦lim_{x→∞}6/x=0
だから
0=lim_{x→∞}x^2/e^x=lim_{x→∞}6/x=0
No.2
- 回答日時:
そもそも「不定形」と言う用語の意味を誤解しているのでは? 不定形とは必ずしも「値が決まらない」と言うわけではありません。
∞/∞や∞×0のように「見ただけでは値が分からない」と言うものであって「値が決まらない」とは限りません。No.1
- 回答日時:
x²よりe^xのほうが
早く大きくなるから
というのが理由です
単純化のためにe=3としてしまえば
xが1→2→3→4…と大きくなっていくとき
x²は1→4→9→16…と増えるが
e^xは3→9→27→81と増え
明らかにe^xのほうが増加スピードが速いことがわかります
xが大きくなるほどに、両者の差は開くので
x→∞では
e^xに比べるとx²はチリみたいに小さなものとなり
したがって
x²/e^x→チリ/とても大きい物→0
となります。
(なお、不定形にはロピタルの定理というものもあります…)
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