数学の極限でわからないところがあります。

添付した画像の問題ですが、このページの中程に以下のような記述があります。

lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)x^2/e^x(-1-2/x+2/x^2) = 0
xを無限に飛ばすと、x^2もe^xも∞に向かうため、この式は不定形になってしまうのではないかと思っているのですが、なぜ0になるのかがわかりません。
e^xもxが増加するとずっと単調に増加していくので∞に向かいますよね？？

何時間考えてもわからなかったので教えてください。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/23 19:45

lim(x→∞)f(x)=0

は
xを∞に飛ばすと,0になるという意味ではありません
---------------------------
真の極限の定義)

どんなに小さな正実数
ε>0に対しても
ある大きな正実数
K>0が存在して
それよりも大きな
x>K　となるような実数
xに対して
|f(x)|<ε
となるとき

lim(x→∞)f(x)=0
と
定義するのです
--------------------
任意のε>0に対して
K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x

x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…　
だから
e^x>x+x^2/2+x^3/6
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
6/x>(6+3x+x^2)/e^x

|f(x)|
=|x^2+2x-2|/e^x
<(x^2+3x+6)/e^x
<6/x
<ε

だから
極限の定義から

lim_{x→∞}f(x)=0

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/19 19:59

lim[x→∞]x/x^2 は∞/∞型ですが

lim[x→∞]x/x^2=lim[x→∞]1/x=0
からわかるように∞/∞型が収束しないとは限りません。

テーラー展開から
x>0で
e^x>1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3
を知っていれば 0 になるのは明白です。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/18 19:40

分子のx^2も

分母のe^xも∞に向かうけれども

分子のx^2よりも
分母のe^xの方が∞に向かう向かい方が強いのです
だから　0 になるのです

x^3/6<e^x だから
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
x^2/e^x < 6/x

0≦lim_{x→∞}x^2/e^x≦lim_{x→∞}6/x=0
0=lim_{x→∞}x^2/e^x=lim_{x→∞}6/x=0

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/18 17:09

たしかにx^2/e^xは∞/∞の不定形だけど極限値はたしかに0になる。

それを証明するには少し工夫がいる。たとえば
不等式1＋x≦e^xでxの代わりにx/4とすれば
1＋x/4≦e^(x/4)、この両辺をe^(x/2）で割って整理すると
x/e^(x/2)≦4/e^(x/4)－4/e^(x/2)　これから
x→∞のとき右辺は→0だからx/e^(x/2)の極限値も０
したがってx^2/e^x＝[x/e^(x/2)]^2の極限値は0^2＝0になる。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/18 05:41

任意のε>0に対して

K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x

x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…　
だから
e^x>x+x^2/2+x^3/6
↓両辺に6/(xe^x)をかけると
6/x>(6+3x+x^2)/e^x

|f(x)|
=|x^2+2x-2|/e^x
<(x^2+3x+6)/e^x
<6/x
<ε

だから
極限の定義から

lim_{x→∞}f(x)=0

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/18 00:29

任意のε>0に対して

K>6/εとなるKがある
x>Kとなる任意のxに対して
x>K>6/ε>0
ε>6/x

x>0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+…　
だから
x^3/6<e^x
↓両辺に6/(xe^x)をかけると

x^2/e^x<6/x …(1)

↓6/x<εだから

x^2/e^x<ε

だから
極限の定義から

lim_{x→∞}x^2/e^x=0
---------------------------------------
あるいは(1)から

0<x^2/e^x<6/x
だから
0≦lim_{x→∞}x^2/e^x≦lim_{x→∞}6/x=0
だから
0=lim_{x→∞}x^2/e^x=lim_{x→∞}6/x=0

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/02/17 23:56

そもそも「不定形」と言う用語の意味を誤解しているのでは? 不定形とは必ずしも「値が決まらない」と言うわけではありません。

∞/∞や∞×0のように「見ただけでは値が分からない」と言うものであって「値が決まらない」とは限りません。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/17 23:33

x²よりe^xのほうが

早く大きくなるから
というのが理由です
単純化のためにe＝3としてしまえば
xが1→2→3→4…と大きくなっていくとき
x²は1→4→9→16…と増えるが
e^xは3→9→27→81と増え
明らかにe^xのほうが増加スピードが速いことがわかります
xが大きくなるほどに、両者の差は開くので
x→∞では
e^xに比べるとx²はチリみたいに小さなものとなり
したがって
x²/e^x→チリ/とても大きい物→0
となります。
(なお、不定形にはロピタルの定理というものもあります…)