画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？ 実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式か

画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？
実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式からお互いに違う式なので、同じ式という意味がわかりません。
違う式ならば、dθの値の符号やθの範囲で使い分ければよいので納得できます。値が違うので。

質問者からの補足コメント

• 画像の二つの式は同じ式なのでしょうか？
  実際に値を代入すると異なる値になるのですが、微分の定義の式からお互いに違う式なので、同じ式という意味がわかりません。
  違う式ならば、dθの値の符号やθの範囲で使い分ければよいので納得できます。値が違うので。
  
  また、 dθに符号が付かない場合、すなわちdθ→0の極限での時、同じ式になるそうですが、5-(0.0001)や5+(0.0001)を考えると違う値になるのですが、違う値を導くのになぜ同じ式なのかわかりません。

    補足日時：2019/07/29 21:48

• 1枚目です

  
    補足日時：2019/07/29 23:27

• 2枚目です

  
    補足日時：2019/07/29 23:27

• 二つの場合で調べて下さりありがとうございます。
  やはり完全に同じ値にはならないので、お互いに異なる式ですね。
  それとも、微分では、このようにほぼ完全に値が一致すれば同じ式のように扱えるのでしょうか？
  どうかよろしくおねがいします。

    補足日時：2019/07/30 02:15

• dθ→0の場合の微分の定義の式は同じになるのでしょうか？
  ってことは値も等しくなると思いますが。

    補足日時：2019/07/30 08:48

• tknataさん、最後にお聞きしたいのですが、
  Aの2つの式の dθ→0とした場合の２つの式の値は完全に一致するのでしょうか？
  多分完全には一致しないと思いますが。
  どうかよろしくおねがいします。

    補足日時：2019/07/30 14:22

• 一部の例外を除いてありませんとのことですが、その一部はなんですか？

    補足日時：2019/08/02 19:29

• やっぱりほぼ一致でしまた！

    補足日時：2019/08/06 21:03

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/29 23:01

また「同じ式という意味がわかりません」って...

「違う式だ！」と答えたばかりなんだがな。↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11228936.html

この回答へのお礼

すいません。ただ過去に回答してくれた方の写メがあり、どっちが正しいのかわからなくなってしまい、混乱しました

お礼日時：2019/07/29 23:25

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/29 23:46

θ’ を θ’ = θ - dθ と置いた時点で、θ’ と θ は関係しているので、

後で勝手に θ’ を θ で置き換えてはいけません。
それは、dθ に dθ = 0 を代入したのと同じことになりますが、
lim[dθ→+0] を考えようという中身の式に、先に dθ = 0 を代入することはできないのです。

θ’ を θ で置き換えず、θ’ のまま残したとしても、
θ は dθ→+0 のとき動かない定数
θ’ は dθ→+0 のとき θ’→θ となる変数ですから、
θ を含む式と θ’ を含む式の次面が似ていても、同じ式だとは言えません。

その説明は、むちゃくちゃです。

一番最後の部分を読むと、ふたつの式が同じ式(計算しなくても値が同じだと判る)であることと
計算してみたら結局値が同じだったことの区別もついていないようですしね。
同じ式でないからこそ、値が一致すれば微分可能
値が一致しなければ微分不可能と判定に使えるのです。
同じ式であれば、値が一致することは自明でしかありません。

この回答へのお礼

なるほど、ではその方の説明はあまり信用しない方が良いですね。
わざわざありがとうございます。

お礼日時：2019/07/30 02:11

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 01:15

私の電卓は同じ値に収速しそうだと言ってるけど

違うと確信した根拠は？

この回答へのお礼

二つの場合で調べて下さりありがとうございます。
やはり完全に同じ値にはならないので、お互いに異なる式ですね。
それとも、微分では、このようにほぼ完全に値が一致すれば同じ式のように扱えるのでしょうか？
どうかよろしくおねがいします。

お礼日時：2019/07/30 02:16

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/30 03:12

記号列として異なっていることは一目瞭然なのでは?

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 07:51

>やはり完全に同じ値にはならないので、お互いに異なる式ですね。

勿論lim取ったら異なるのは明白。一致するのは「極限値」(Iim付の式)。

この回答へのお礼

ちなみに、Aの式の dθ→0の時の過程の式は一致するのでしょうか？

お礼日時：2019/07/30 08:14

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 08:31

過程の式？？？？

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/30 09:18

なんか「同じ式」があなたの頭の中で暴走してるっぽい。

同じ a+b という式が2個あっても
それぞれbに別の値を入れたら、式の「計算結果」は異なる。

a+bとa-bという式は見かけ上異なるけど
左の式ではb=1、右の式ではb=-1
ということなら同じ式になる。

あなたのやっていることは
これだけのつまらないことなんだけど
恐らく全然理解も整理もできて無いのでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、わかりやすいです。

お礼日時：2019/07/30 14:19

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/31 13:16

どうやらあなたは

lim[δθ→0] {cos(θ+δθ)-cosθ}/{(θ+δθ)-θ}
とはδθに小さな値を入れたもの、と勘違いしているようです。

それ自体が間違いです。

これはδθに何か適当な値を入れたものではないのです。δθに0を入れたものですらない。(δθ=0で式が定義されていませんが)
δθに徐々に小さい値を入れていった時に近づいていく値を表します。
確かにδθに極端に小さな値を入れたものはこの極限値に近い値になりますが、それそのものになるとは限りません。
というよりもほとんどの場合、極限値とは近いが異なる値になります。

つまり、δθに+0.001や-0.001を入れても一致するとは限りません。(というよりも一致しない方が多い)
δθに+0.001→+0.0001→+0.00001としていった時の極限の値がδθ→+0の極限値ですし、
δθに-0.001→-0.0001→-0.00001としていった時の極限の値がδθ→-0の極限値です。
また、これらの数値を代入した値が極限値と一致する、ということは一部の例外を除きありません。

δθ→0の極限とはδθに何かの数値を入れた値、というわけではないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり小さい値でも完全な一致はしないのですね！
ですが、それ(完全に一致しないがほぼ同じ値になること)を兼ねて微分というのでしょうか？

お礼日時：2019/08/01 17:21

No.9 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/01 18:05

#8です。

>ありがとうございます。
やはり小さい値でも完全な一致はしないのですね！
ですが、それ(完全に一致しないがほぼ同じ値になること)を兼ねて微分というのでしょうか？

あのね。なに言っているの?
極限というのは数値を入れたものではないといっているだろう。何を読めばそんな読み方するの。
あなたは算数だけやっていなさい。

質問者が出した二つの式の値は完全に一致します。(両方とも-sinθになります)
極限とは式に値を入れたものではない。数値を入れたものが違う→極限とはほぼ一致の近似である、などとあなたが勝手に思っている妄想にすぎません。
もちろん、これは厳密に定義できる数学的操作(ε-δ論法)によって証明可能なのですが、あなたには理解できないでしょうから説明しません。

この回答へのお礼

その数学的操作をすればちゃんと値が完全に一致できることを証明できるのですか？

お礼日時：2019/08/02 14:30

No.10 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/02 15:53

#9です。

>その数学的操作をすればちゃんと値が完全に一致できることを証明できるの

できます。
ただし、あなたには理解できません。なぜなら極限の定義が全く分かっていないから。

この回答へのお礼

わかりました。

お礼日時：2019/08/02 15:54