分散共分散行列の逆行列の平方根

線形代数の問題です。

多変量正規分布について勉強しているのですが、正定値の実対称行列である分散共分散行列Σについて、Σのスペクトル分解を利用して、正定値対称行列に限ればΣ^(-1/2)は一意で存在することを示せません。

Σをスペクトル分解すると、対角成分が固有値である対角行列Mと直交行列Uを用いて、^Tを転置を表す記号とすると、Σ=(U^T)MUと表すことができます。

そこで、Mの対角成分は全て正なので、Mのそれぞれの対角成分の平方根をとったものを対角成分とする行列をM^(1/2)として、Σ^(1/2)=(U^T)MUとすると、

{Σ^(1/2)}^2
={(U^T)M^(1/2)U}{(U^T)M^(1/2)U}
=(U^T)MU
=Σ

となるので、Σ^(1/2)はΣの平方根となります。

また、M^(1/2)のそれぞれの対角成分について、これも全て正なので、逆数をとったものを対角成分にもつ対角行列をM^(-1/2)と定義して、Σ^(-1/2)=(U^T)M^(-1/2)Uと定義すると

{Σ^(-1/2)}{Σ^(1/2)}
={(U^T)M^(-1/2)U}{(U^T)M^(1/2)U}
=E(単位行列)

となり、{Σ^(1/2)}{Σ^(-1/2)}も同様にEとなるので、Σ^(-1/2)はΣ^(1/2)の逆行列となることが示され、Σ^(-1/2)が存在することが分かりました。

さらに、Σ^(-1/2)=(U^T)M^(-1/2)Uは正定値対称行列です。

ただし、これが「一意で」存在することが示せません。どのように示せばよいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/11 13:51

示せないのは、実際に一意ではないからです。

正定値対称行列 Σ, X の間に X^2 = Σ の関係があるとします。
正定値対称行列は、直交変換によって対角化することができますが、それを
Σ = (U^-1)MU、U は直交行列、M は対角行列
X = (P^-1)YP、P は直交行列、Y は対角行列　←[1]
としましょう。

これらを X^2 = Σ へ代入して整理すると、
M = (Q^-1)(Y^2)Q, Q = P(U^-1) と書けます。
この式は M の対角化になっているので、与えられた M に対して
Y^2 は対角成分の並び替えを除いては一意です。　←[2]

M の対角成分を適当に並べ替えたものを M’ と置くと
Y^2 = M’ と書けます。
成分計算より、(Y の第 k 対角成分) = ±√(M’ の第 k 対角成分)
と判りますが、[1] より Y も正定値なので、平方根は + のほうしか選べません。

以上より、X は「 [2] の不定性を除けば」一意であることが示されました。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
確かに対角化は固有値の並び順を考えたら一意ではないですね。基礎的なところでつまづいていました。

お礼日時：2019/08/11 15:18