教えてください！ 2の8乗＋2の11乗＋2のn乗となる自然数nがただ一つ存在する事を証明せよ。

教えてください！







2の8乗＋2の11乗＋2のn乗となる自然数nがただ一つ存在する事を証明せよ。

質問者からの補足コメント

• …が平方数となる自然数n…
  です。ご指摘ありがとうございます。

    補足日時：2019/09/08 18:28

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/09/08 23:23

mを整数として、2⁸+2¹¹+2^n=m²とおける。

2⁸+2¹¹=2304=48²だから、
48²+2^n=m²
2^n=m²-48²
よって、2^n=(m-48)(m+48)
左辺は2の累乗だから、右辺の2つの因数も2の累乗であり、
m-48=2^a
m+48=2^b　（a,bは0以上の整数）
とおける。

下の式から上の式を引くと、
2^b-2^a=96
両辺を32=2⁵で割って、
2^(b-5)-2^(a-5)=3となるから、
2^(b-5)=2^(a-5)+3である。

左辺は偶数だから、右辺も偶数でなければならず、3と足して偶数になる数は奇数なので、
2^(a-5)は奇数。2^(a-5)が奇数になるのは、2⁰=1のときのみであるから、a-5=0　∴a=5
このとき、2^(b-5)=1+3=4=2²であるから、b-5=2　∴b=7

以上により、
m-48=2⁵=32より、m=80
(m+48=128=2⁷を満たしている）

すると、2^n=m²-48²=80²-48²=4096であるからn=12となり、これが条件を満たす唯一のnである。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/08 23:15

1個ずつ調べる.

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/09/08 18:26

質問の問題文が間違っている（転記誤り）

どっかが=じゃ無いの

そのままだと、何だって構わない。