No.3ベストアンサー
- 回答日時:
mを整数として、2⁸+2¹¹+2^n=m²とおける。
2⁸+2¹¹=2304=48²だから、
48²+2^n=m²
2^n=m²-48²
よって、2^n=(m-48)(m+48)
左辺は2の累乗だから、右辺の2つの因数も2の累乗であり、
m-48=2^a
m+48=2^b (a,bは0以上の整数)
とおける。
下の式から上の式を引くと、
2^b-2^a=96
両辺を32=2⁵で割って、
2^(b-5)-2^(a-5)=3となるから、
2^(b-5)=2^(a-5)+3である。
左辺は偶数だから、右辺も偶数でなければならず、3と足して偶数になる数は奇数なので、
2^(a-5)は奇数。2^(a-5)が奇数になるのは、2⁰=1のときのみであるから、a-5=0 ∴a=5
このとき、2^(b-5)=1+3=4=2²であるから、b-5=2 ∴b=7
以上により、
m-48=2⁵=32より、m=80
(m+48=128=2⁷を満たしている)
すると、2^n=m²-48²=80²-48²=4096であるからn=12となり、これが条件を満たす唯一のnである。
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