数学についてです。 写真の不等式の証明をしてください。

数学についてです。
写真の不等式の証明をしてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/22 16:27

この式が、ベクトルに関する不等式 |→a・→b| ≦ |→a| |→b| と似ていることには気づいたでしょうか？

→a = (a1, a2, …, an), →b = (b1,b2, …,bn) と書くと、|→a・→b| ≦ |→a| |→b| は両辺二乗して
{ Σ[k=1…n](ak bk) }^2 ≦ { Σ[k=1…n](ak)^2 }{ Σ[k=1…n](bk)^2 } とも書けて、
質問の式とそっくりというか、瓜1.9個分くらいな感じです。

|→a・→b| ≦ |→a| |→b| のよくある証明は、→v = (→a) + t(→b) と置いて |→v| ≧ 0 を利用する
ことだったと思います。高校の教科書にも載っていましたよね？
瓜1.9個に免じて、ここでもそれを使ってみましょう。
h(x) = f(x) + t g(x) と置いて、t の関数 F(t) = ∫[a,b]{h(x)^2}dx を考えます。被積分関数を展開すると、
F(t) = ∫[a,b]{f(x)^2}dx + 2t∫[a,b]{f(x)g(x)}dx + (t^2)∫[a,b]{g(x)^2}dx です。
F(t) は t の二次関数ですが、F(t) を定義した式の被積分関数 h(x)^2 が常に正または0であることから、
F(t) ≧ 0 が常に成り立つことが判ります。よって、二次関数は判別式が負または0です。
それを式で書くと、D/4 = { ∫[a,b]{f(x)g(x)}dx }^2 - { ∫[a,b]{f(x)^2}dx }{ ∫[a,b]{g(x)^2}dx } ≦ 0.
これは、与式そのものです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/09/23 20:35