逆写像定理、多様体論 多様体における逆写像定理の証明で、M,NをCr級多様体なのですが、M,NがR∧

逆写像定理、多様体論
多様体における逆写像定理の証明で、M,NをCr級多様体なのですが、M,NがR∧mと仮定しても本質は損なわれないそうなのですが、どうしてですか？

質問者からの補足コメント

• 定理の主張です

  
    補足日時：2019/11/07 13:43

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/11/12 10:38

その前に

「
問題なのは,
pとf(p)のまわりの局所的な様子だけであるから
」
とその理由が書いてあるから

それから
その前に
dim(M)=dim(N)
と書いてあるから
MとNは同じ
m次元多様体であるから
pの近傍
U_p
はR^mと同相だから
U_pとR^m,(pと0)を同一視できる

f(p)の近傍
f(U_p)
も
R^m
と同相だから
f(U_p)とR^m(f(p)と0)を同一視できるから

「
問題なのは,
pのまわりの局所的な様子だけであるから
」

MとU_pとR^mを同一視できる

「
問題なのは,
f(p)のまわりの局所的な様子だけであるから
」

Nとf(U_p)とR^mを同一視できる
-------------------------------
位相空間Mに対して
任意のp∈Mに対して
pの近傍U_pとR^mの開集合Gが存在して
φ:U_p→G
となる同相写像が存在するとき
Mをm次元多様体という

R^mの開集合GはR^mと同相だから

任意のp∈Mに対して
pの近傍U_pが存在して
φ:U_p→R^m
φ(p)=0
となる同相写像φが存在するとき
Mをm次元多様体といえる

U_p,V_pをpの近傍
φ:U_p→R^m,φ(p)=0
g:V_p→R^m,g(p)=0
をそれぞれ同相写像とするとき
g〇φ^(-1):R^m→U_p∩V_p→R^m
がr回微分可能なとき
Mをm次元Cr級多様体という

この回答へのお礼

ありがとうございます、納得しました

お礼日時：2019/11/14 15:48